Метод наименьших квадратов

Допустим, что результаты эксперимента предоставлены в таблице, представленной выше. И уравнение регрессии записывается в виде (3.2), т.е. зависимость от (m+1) параметра a ₀ , a ₁ , a ₂ ,… a_n:

 (3.3)

Эти параметры и определяют расположение графика эмпирической формулы относительно экспериментальных точек. Однако эти параметры определяются не однозначно. Требуется подобрать параметры так, чтобы график уравнения регрессии был расположен как можно ближе к системе экспериментальных точек.

Введем понятие отклонения значения уравнения регрессии (3.3) от табличного значения y_i для x_i:

 (3.4)

Рассмотрим сумму квадратов отклонений

 (3.5)

Согласно МНК наилучшими коэффициентами a_i являются те, которые минимизируют функцию S (3.5)

Используя необходимые условия экстремума функции нескольких переменных, получим нормальную систему для определения коэффициентов a ₀ , a ₁ , a ₂ ,…, a_m :

;  ;…; . (3.6)

Для аппроксимирующей функции (3.3) система (3.6) является системой линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных a ₀ , a ₁ , a ₂ ,…, a_{m .}

Если , то существует бесконечно много многочленов (3.3), минимизирующих функцию (3.5). Если , то существует только один многочлен (3.3), минимизирующий функцию (3.5). Будем считать, что .

Чем меньше m, тем проще тем проще эмпирическая формула, но это не всегда лучше.

Эмпирические формулы с двумя параметрами.
Метод выравнивания

Для описания многих технологических процессов используются эмпирические формулы, содержащие 2 параметра:

 (3.7)

Пусть заранее известно, что экспериментальные точки не лежат на одной прямой, для нахождения a , b используется метод выравнивания.

Идея метода. Вводятся новые переменные

 (3.8)

так, чтобы преобразованные точки могли быть аппроксимированы линейной зависимостью

 (3.9)

Здесь ;

Параметры А и В находятся методом наименьших квадратов.

Аппроксимация экспериментальной зависимость уравнением регрессии 3-го порядка

Поставим задачу аппроксимировать полученную ранее экспериментальную зависимость n(e) уравнением регрессии 3-го порядка, использую надстройку «Поиск решения».

Т.е. мы получим функцию вида:

 (3.10)

В качестве начальных приближений примем a = b = c = d =1. Формируем таблицу:

Уравнение регресии