Определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего

катета к прилежащему:

о

Примеры.

1. Дан прямоугольный треугольник. Найдите:

а) гипотенузу с и катет Ь, если даны катет а и противолежащий ему угол а;

б) гипотенузу с и катет а, если даны катет ь и прилежащий к нему угол а (рис. 20).



2. Под каким углом падает на землю луч солнца, если вертикально воткнутый в землю шест возвышается над землей на 18 м и отбрасывает тень, равную 6 73 (рис. 21)?

Обозначим длину шеста через а, длину тени шеста через Ь, а угол, под которым на землю падает луч солнца, через а.

Свойство медианы равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Дано: А АВС — равнобедренный треугольник, АВ — основание, CD — медиана (рис. 22).

Доказать: CD — биссектриса и высота.

Доказательство. Треугольники CAD и CBD равны но второму признаку равенства треугольников (стороны АС и ВС равны, так как АВС — равнобедренный. Углы CAD и CBD равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Стороны AD и BD равны, поскольку D — середина отрезка АВ).

Из равенства треугольников CBD и CAD следует равенство углов:



Так как углы ACD и BCD равны, то CD — биссектриса. Поскольку углы ADC и BDC смежные и равны друг другу, они прямые. Следовательно, отрезок CD является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.

Таким образом, установлено, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведенные к основанию, совпадают. Поэтому справедливы также следующие утверждения:

1. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

2. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

Задача по теме «Подобие треугольников».

Задача по теме «Ромб. Квадрат».

Докажите, что в ромб можно вписать окружность.

Дано: ABCD — ромб, О — точка пересечения диагоналей ромба.

Доказать: О — центр вписанной окружности.

Доказательство. Треугольники ABO, ADO, CBO и CDO — прямоугольные (так как ABCD — ромб) и равны по гипотенузе и катету. Следовательно, и высоты OF и ОЕ проведенные из вершин пря мых углов, равны. Значит, основания высот лежат на окружности с центром О. Так как высоты, проведенные из вершин прямых углов, перпендикулярны сторонам ромба, то окружность с центром О — точкой пересечения диагоналей ромба — и радиусом, равным расстоянию от точки О до сторон ромба, касается сторон ромба. Следовательно, в ромб можно вписать окружность.