Теорема о внешнем угле треугольника.

Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.

Чтобы не путать угол треугольника при данной вершине с внешним углом треугольника при этой же вершине, его иногда называют внутренним углом.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.



Отсюда следует, что , т. е. внешний угол при вершине равен сумме углов А и В, что и требовалось доказать.

Отсюда следует, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Задача по теме «Признаки равенства треугольников».

Задача по теме «Площадь».

Теорема о средней линии трапеции (формулировка и пример).

Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Пример.

Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника.

Многоугольник называется выпуклым, если он

лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.

Сумма углов выпуклого п-угольника равна 180° - (п - 2).

Задача по теме «Признаки равенства треугольников».

Задача по теме «Решение прямоугольных треугольников».

Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильного n-угольника (формулы и примеры).

Свойство диагоналей ромба.

Дано: ABCD — ромб, АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей.

Доказать: AC BD, АС и BD — биссектрисы углов ромба.

Доказательство. Рассмотрим ромб ABCD (см. рис. 61). По свойству параллелограмма АО = ОС. Значит, в треугольнике ABC отрезок ВО является медианой. Так как ABCD — ромб, то АВ = ВС и треугольник ABC — равнобедренный. По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к его основанию, является биссектрисой и высотой. А это значит, что диагональ BD является биссектрисой угла В и перпендикулярна диагонали АС. Аналогично рассматривается AABD. Теорема доказана.

Задача по теме «Равнобедренный треугольник».

Задача по теме «Подобие треугольников».

В треугольнике из всех вершин проведены высоты, каждая из которых разбивает его на два треугольника. Докажите, что любые два из этих треугольников, имеющие общую вершину с данным, подобны.

Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильного треугольника, правильного четырехугольника, правильного шестиугольника (формулы и примеры).

Примеры.

1. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, если сторона треугольника равна 5 см.

Решение:

2. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен 1 см. Найдите радиус описанной окружности. Решение:





3. Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен 7 см. Найдите сторону правильного шестиугольника.

Решение: