Функции компьютерной алгебры

Системы компьютерной алгебры имеют несколько характерных для них функций, выполняющих достаточно сложные преобразования выражений. Эти функции имеют вполне установившиеся названия (Simplify, Expand, Collect, Factor и т. д.) и встречаются практически во всех системах символьной математики. Настало время детально познакомиться с ними, что и делается в данном разделе.

Упрощение выражений — функция Simplify

Упрощение математических выражений — одна из самых важных задач символьной математики. Частенько невероятно сложное математическое выражение, пугающее новичков своим грозным видом, является просто нулем или единицей либо сводится к простому выражению после ряда вполне заурядных (хотя, порою, и довольно сложных) преобразований. Качество выполнения операции упрощения во многом определяется мощью ядра математической системы, поскольку зависит от числа заложенных в него функций и правил преобразования выражений.

С точки зрения простоты выражений они делятся на недостаточно простые и достаточно простые выражения. Недостаточно простые выражения таят в себе всевозможные «излишества»: сокращаемые общие члены, лишние переменные и функции, полиномы со степенями, допускающими понижение, и т. д. Это затрудняет качественный анализ выражений и может даже приводить к неоднозначным и даже неверным результатам.

Mathematica всегда старается упростить то или иное выражение, если для этого не требуется каких-либо особых средств. Например, сложные выражения, содержащие элементарные или специальные функции, превращаются в более простые выражения — в том лишь смысле, что они состоят из более простых функций.

Однако так бывает далеко не всегда, и для проведения необходимых преобразований используются различные функции, описанные ниже.

Для упрощения выражений используется функция Simplify [ехрг]. Она исполняет последовательность алгебраических преобразований над выражением ехрг и возвращает простейшую из найденных форм (обычно это бывает нормальная форма выражения).

Функция Simplify работает с самыми различными математическими выражениями: многочленами, рациональными выражениями (состоящими из полиномов и их отношений), расширенными рациональными выражениями (имеющими дробные степени переменных), элементарными и специальными функциями, алгебраическими и тригонометрическими выражениями и т. д. Обычно она приводит выражения к нормальному виду, что автоматически означает и приведение к виду достаточно простых выражений.

Операция Simplify часто выполняется по умолчанию. Например, это обычно происходит при вычислении выражений, примеры чего приводились выше. Несомненно, это одна из наиболее важных и часто применяемых операций компьютерной алгебры.

Вообще говоря, понятие упрощения математических выражений не является однозначным. К примеру, некоторые пакеты символьной математики упрощают sin(x)/cos(x) к единой математической функции tan(x), тогда как другие упрощают tan(x) к sin(.r)/cos(.r), считая, что функции sin(x) и cos(.r) более простые, чем функция tan(.r). Эта неоднозначность часто путает неопытных пользователей, пытающихся проверить символьные системы примерами из справочников, — вполне возможно, что авторы их придерживались несколько иного подхода к упрощению выражений, чем разработчики той или иной математической системы.

Функции преобразования тригонометрических выражений

Хотя представленные выше функции иногда применимы для тригонометрических выражений, для последних есть ряд специальных функций, дающих более надежные результаты в ходе преобразований тригонометрических функций. В названии этой группы функций имеется слово Trig. Начнем с функции Trig-Expand [expr ], которая обеспечивает расширение выражения ехрг, содержащего тригонометрические и гиперболические функции.

Следующие две функции обеспечивают взаимные преобразования экспоненциальных и тригонометрических выражений:

TrigToExp [expr] — преобразует тригонометрические выражения к экспоненциальному виду;

ExpToTrig [expr] — преобразует экспоненциальные выражения в тригонометрические.

Приведем еще две функции:

TrigFactor [expr] — раскладывает на простые множители тригонометрическое выражение ехрr;

TrigFactorList [expr] — раскладывает тригонометрическое выражение ехрг на списки с термами выражения.

Применение рассмотренных функций расширяет круг задач, решаемых с применением символьных преобразований.

Основные операции над полиномами

Полиномом называют выражение, состоящее из нескольких частей одного вида. В западной математической литературе к ним часто относят степенной многочлен вида

Р(х) = а0 + а1х + а2 х2 + а3 х3 + ... + аnхn.

Хотя термин «полином» не очень прижился в отечественной математической литературе, мы оставляем его ввиду краткости и ради лучшего понимания синтаксиса функций системы, поскольку слова poly и Polynomial входят в параметры и имена многих функций. При этом полиномы мы будем кратко обозначать как poly или pi (здесь i — индекс или порядковый номер полинома).

Над полиномами можно выполнять обычные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Это иллюстрируют следующие примеры (здесь р1 и р2 — полиномы от одной переменной х):

р1 := х^3 + 2*х^2 + 3*х + 4

р2 := х^2 - 1

р1 + р2

3+3х+3х2+х3

р1 - p2

5+3х+х2+х3

Если ситуация со сложением и вычитанием полиномов достаточно очевидна, то с умножением и делением результат часто повторяет задание. Для получения результата умножения полиномов в обычной форме следует использовать функцию расширения символьных выражений Expand.

Если один полином делится на другой (это бывает далеко не всегда), то для получения результата надо использовать функцию Simplify. В общем случае при делении полиномов может оставаться остаток. Функция, обеспечивающая деление полиномов и вычисляющая остаток, описана ниже.

Функции для расширенных операций с выражениями

Выше была описана сравнительно немногочисленная группа функций для работы с выражениями — их упрощения, расширения, выделения множителей и т. д. Эти функции способны решать большинство повседневных задач, связанных с аналитическими преобразованиями выражений. Однако система Mathematica имеет гораздо более полный набор функций для работы с выражениями. Они приведены в приложении.

К сожалению, объем книги не позволяет привести примеры использования всех этих функций, да и вряд ли они будут интересны всем читателям. Поэтому приведем лишь отдельные примеры работы с некоторыми из этих функций:

Apart [expr] — переписывает рациональное выражение expr в виде суммы членов с минимальными знаменателями;

Apart [expr, var] — аналогична Apart [expr], но все переменные, кроме var, интерпретируются как константы.

Следующие функции позволяют судить о размерности выражений:

Depth [expr ] — возвращает значение, на единицу превышающее максимальное число индексов, требуемых для указания любой части выражения expr;

Dimensions [expr] — возвращает список размерностей выражения expr;

Dimensions [expr, n] — возвращает список размерностей expr до уровня n.