Операции математического анализа

 

Вычисление сумм

 

В числе операций математического анализа прежде всего надо отметить суммы

Сумма от i=min до imax по fi

В этих операциях индекс i принимает целочисленные значения от минимального (начального) imin до максимального (конечного) imax с шагом, равным +1.

Суммы и произведения легко вычисляются численными математическими системами, такие вычисления просто описываются на всех языках программирования. Однако важным достоинством систем символьной математики, включая Ма-thematica, является вычисление сумм и произведений в аналитическом виде (если это возможно) и при большом числе членов — вплоть до стремящегося к бесконечности.

Для вычисления сумм в системе Mathematica предусмотрена функция Sum, используемая в ряде форм:

Sum [f, {i, imax}] — вычисляет сумму значений f при изменении индекса i от 1 до imax с шагом +1;

Sum[f,{i, imin, imax}]—вычисляет сумму значений f при изменении индекса i от минимального значения i=imin до максимального i=imax с шагом +1;

Sum[f, {i, imin, imax, di}]— вычисляет сумму значений f при изменении управляющей переменной вещественного типа от минимального значения i=imin до максимального i=imax с шагом di;

Sum[f, {i, imin, imax}, {j, jmin, jmax},...] — вычисляет многократную сумму значений f при изменении индексов i от imin до imax с шагом +1, j от jmin до jmax с шагом +1 и т. д. (число индексов не ограничено).

 

Вычисление производных

 

К числу наиболее часто используемых математических операций принадлежит вычисление производных функций как в аналитической, так и в символьной форме. Для этого используются следующие функции:

D [ f, х ] — возвращает частную производную функции f по переменной х;

D [f, {х, n}]— возвращает частную производную n-го порядка по х;

D[f, xl, х2,...] — возвращает смешанную производную;

Dt[f, х] — возвращает обобщенную производную функции f по переменной х;

Dt [ f ] — возвращает полный дифференциал f.

Название функции из одной буквы — это явно исключение из правил. Оно выбрано осознанно, в силу массовости этой операции.

Для функции D существует опция NonConstants, которая позволяет задать список объектов, находящихся в неявной зависимости от переменных дифференцирования. По умолчанию этот список пустой. Для функции Dt имеется опция Constants, которая, наоборот, указывает символы, которые являются константами (по умолчанию их список также пуст). На практике применять данные опции приходится редко.

Существует еще одна функция, Derivative [nl, n2,...] [f ], — основная (общая) форма представления функции, полученной в результате nl-кратного дифференцирования функции f по первому аргументу, п2-кратного — по второму аргументу и т. д.

К примеру, Derivative [2] [х*у] возвращает (ху)", a Derivative [2, 3] [х*у] — соответственно, (ху)(2.3)

Следующие примеры показывают применение функции D для вычисления производной в аналитическом виде:

Производная тригонометрической функции:

 

D[x*Sin[x],x]

xCos[x] + Sin[x]

 

Производная логарифмической функции:

 

D[Log[3*x/4],x]

1/x

Производная степенного многочлена:

 

D[а*х^2+b*х+с,х]

b+ 2ах

 

Пятая производная от хn:

 

D[х^n,{х,5}]

(-4 + n) (-3+n) (-2+n) (-1+n)nх-5+n

 

Вычисление интегралов

 

Одна из важнейших операций — вычисление первообразных и определенных интегралов в символьном виде. Первообразная — это функция F(x), удовлетворяющая уравнению

 

f(x)dx = F(x) + C,

 

где С — постоянная интегрирования. А вычисление определенного интеграла с пределами — верхним b и нижним а — производится по формуле

 

f(X)dX = F(b)-F(a)

Заметим, что определенный интеграл может быть представлен как аналитическим, так « численным значением. Для вычисления численных значений определенных интегралов разработан ряд приближенных методов — от простых (прямоугольников и трапеций) до сложных, автоматически адаптирующихся к характеру изменения подынтегральной функции f(x).

Для интегрирования в системе Mathematica используются следующие функции:

Integrate [f, x] — возвращает первообразную (неопределенный интеграл) подынтегральной функции f по переменной х;

Integrate [f, {x, xmin, xmax}] — возвращает значение определенного интеграла с пределами от xmin до xmax;

Integrate [f, {x, xmin, xmax}, {у, ymin, ymax},...] —возвращает значение кратного интеграла с пределами от xmin до xmax по переменной х, от ymin до ymax по переменной у и т. д. (кратность реально не ограничена).

Обычно функция Integrate применяется в простейшей форме, но она имеет три характерные опции:

Options[Integrate]

{Assumptions -> {}, GenerateConditions->Automatic,

PrincipalValue > False)

Для обозначения бесконечных пределов используется константа Infinity. Эта константа означает положительную бесконечность, для задания отрицательной бесконечности она используется со знаком «минус». Пределы могут задаваться как константами, так и функциями.

 

Двумерная графика

 

Графическая функция Plot

 

Концептуально графики в системе Mathematica являются графическими объектами, которые создаются (возвращаются) соответствующими графическими функциями. Их немного, около десятка, и они охватывают построение практически всех типов математических графиков. Как уже отмечалось, достигается это за счет применения опций и директив.

Поскольку графики являются объектами, то они могут быть значениями переменных. Поэтому Mathematica допускает следующие конструкции:

· Plot[Sin[x],{x,0,20}] — построение графика синусоиды;

· g:=Plot [Sin [x], {х, 0, 20} ] — задание объекта — графика синусоиды — с отложенным выводом;

· g=Plot [Sin [x], {х, 0, 20} ] — задание объекта — графика синусоиды — с немедленным выводом.

Начнем рассмотрение графических возможностей системы с построения простейших графиков функций одной переменной вида у =f(x) или просто f(x). График таких функций строится на плоскости, то есть в двумерном пространстве. При этом используется прямоугольная (декартова) система координат. График представляет собой геометрическое положение точек (х, у) при изменении независимой переменной (абсциссы) в заданных пределах, например от минимального значения xmin до максимального хтах с шагом dx. По умолчанию строятся и линии координатной системы.

Для построения двумерных графиков функций вида f(x) используется встроенная в ядро функция Plot:

· Plot [f, {x, xmin, xmax}] — возвращает объект, представляющий собой график функции f аргумента х в интервале от xmin до xmax;

· Plot[{f1, f2,...}, {x, xmin, xmax}]— возвращает объект в виде графиков ряда функций fi.

Функция Plot используется для построения одной или нескольких линий, дающих графическое представление для указанных функций f, f1, f2 и т. д. На рис. 4 показано построение графика функции sin(x)/x без использования каких-либо опций (точнее, с набором опций по умолчанию).

 

Рис. 4 Построение двумерного графика

 

Тут виден как раз тот случай, когда масштаб графика по вертикали выбран системой неудачно — часть графика сверху просто отсекается. В большинстве же случаев применение функции Plot позволяет получить вполне «удобоваримый» график.

 

Опции функции Plot

 

По мере усложнения задач, решаемых пользователем, его рано или поздно перестанут устраивать графики, получаемые при автоматическом выборе их стиля и иных параметров. Для точной настройки графиков Mathematica использует специальные опции графических функций Для вывода их списка надо использовать команду Options [Plot]. Полный список опций дан в приложении.

Опции внутри.графических функций задаются своим именем name и значением value в виде

 

name -> value

 

Наиболее распространённые символьные значения опций:

Automatic — используется автоматический выбор;

None — опция не используется;

All — используется в любом случае;

True — используется;

False — не используется.

Многие опции могут иметь числовые значения. В сомнительных случаях рекомендуется уточнять форму записи опций и их значений по оперативной справочной системе. Рассмотрим примеры применения опций двумерной графики.

С помощью опции Axes со значением None можно убрать с графика отображение осей.

Часто возникает необходимость построения на одном рисунке нескольких графиков одной и той же функции, но при разных значениях какого-либо параметра — например, порядка специальных математических функций. В этом случае они могут быть заданы в табличной форме..

Применение других опций позволяет задавать массу свойств графиков, например цвет линий и фона, вывод различных надписей и т. д. Помимо представленных примеров, полезно просмотреть и множество примеров построения двумерных графиков, приведенных в справочной системе Mathematica.

 

Директивы двумерной графики

 

Еще одним важным средством настройки графиков являются графические директивы. Синтаксис их подобен синтаксису функций. Однако директивы не возвращают объектов, а лишь влияют на их характеристики. Используются следующие основные директивы двумерной графики:

AbsoluteDashing [ {dl, d2,...}]— задает построение последующих линией пунктиром со смежными (последовательными) сегментами, имеющими абсолютные длины dl, d2, ... (повторяемые циклически). Значения длины di задаются в пикселях;

AbsolutePointSize [d] — задает построение последующих точек графика в виде кружков с диаметром d (в пикселях);

AbsoluteThickness [d] — задает абсолютное значение толщины (в пикселях) для последующих рисуемых линий;

Dashing [{rl, r2,...}] — задает построение последующих линий пунктиром с последовательными сегментами длиной rl, г2, ..., повторяемыми циклически, причем ri задается как доля полной ширины графика;

PointSize [d] — задает вывод последующих точек графика в виде кружков с относительным диаметром d, заданным как доля общей ширины графика;

Thickness [r] — устанавливает для всех последующих линий толщину г, заданную как доля полной ширины графика.

Применение графических директив совместно с опциями позволяет создавать графики самого различного вида, вполне удовлетворяющие как строгим требованиям, так и различным «извращениям» в их оформлении.

 

Построение графика по точкам — функция List Plot

 

Часто возникает необходимость построения графика по точкам. Это обеспечивает встроенная в ядро графическая функция ListPlot:

ListPlot [ {yl, у2,...}]— выводит график списка величин. Координаты х принимают значения 1, 2, ...;

ListPlot [{{x1, y1}, {х2, у2 },...}]—выводит график списка величин с указанными х- иy-координатами.

В простейшем случае эта функция сама задает значения координаты х= 0, 1, 2, 3, ... и строит на графике точки с координатами (х, у), выбирая у последовательно из списка координат.

 

 

Рис. 5 Построение графика по точкам

 

Можно заметить характерный недостаток построений — точки (особенно при небольшом размере) имеют вид, заметно отличающийся от идеального круга. Функция ListPlot, особенно в ее второй форме (с заданными координатами х и г/), удобна для вывода на график экспериментальных точек.

 

Трехмерная графика

 

    Трехмерная графика, называемая также ЗD-графикой, представляет в аксонометрической проекции объемное изображение поверхностей или фигур, которые описываются либо функциями двух переменных, либо параметрически заданными координатами объектов. В данном разделе описаны многие способы построения трехмерных графиков, начиная от простых контурных графиков и кончая графиками поверхностей и фигур с функциональной окраской.

 

Построение контурных графиков

 

Контурные графики, или графики линий равных высот, используются для отображения поверхностей на плоскости. Они удобны для выявления всех экстремумов функций в пределах области графика. Такие графики являются линиями пересечения поверхности с секущими горизонтальными плоскостями, расположенными параллельно друг под другом. Они часто используются в картографии.

Основными функциями и директивами для построения контурных графиков являются следующие:

ContourPlot[f,{x, xmin, xmax}, {у, ymin, ymax}] — порождает контурный график f как функции от х и у;

ContourGraphics [array] — представляет контурный график массива array;

ListContourPlot[array] — формирует контурный график из массива величин высот.

Этих функций достаточно для построения практически любых монохромных графиков такого типа.

Для управления возможностями графической функции ContourPlot используются опции, полный список которых выводит команда Options [ContourGraphics ]. Помимо уже рассмотренных ранее опций используются следующие:

ColorFunction — задает окраску областей между линиями;

Contours — задает число контурных линий;

ContourLines — задает прорисовку явных (explicit) контурных линий;

ContourShading — задает затенение областей между контурными линиями;

ContourSmoothing — задает сглаживание контурных линий;

ContourStyle — задает стиль рисуемых линий для контурных графиков;

MeshRange — задает области изменения х- и y-координат.

Рисунок 6 показывает построение контурного графика с окраской промежуточных областей между линиями. Окраска обеспечивается опцией ColorFunction-> Hue. Опция ContourSmoothing->True задает сглаживание контурных линий.

 

 

Рис. 6. Контурный график поверхности sin(x у) с закраской областей между линиями

равного уровня оттенками серого цвета

 

Иногда график оказывается более наглядным, если убрать построение контурных линий, но оставить закраску областей между линиями. Такой вариант графика более предпочтителен, если нужно наблюдать качественную картину. Для построения такого графика надо использовать опцию ContourLine->False (рис. 7).

 

 

Рис. 7. Контурный график без линий равного уровня

 

В данном случае используется вариант монохромной окраски областей между линиями (PostScript). Он может оказаться предпочтителен, например, если предполагается печать графика монохромным принтером.

 

Построение графиков поверхностей — функция Plot 3D

 

Функция двух переменных z = f(x, у) образует в пространстве некоторую трехмерную поверхность или фигуру. Для их построения приходится использовать координатную систему с тремя осями координат: х, у и z. Поскольку экран дисплея плоский, то на самом деле объемность фигур лишь имитируется — используется хорошо известный способ наглядного представления трехмерных фигур с помощью аксонометрической проекции.

Вместо построения всех точек фигуры обычно строится ее каркасная модель, содержащая линии разреза фигуры по взаимно перпендикулярным плоскостям. В результате фигура представляется в виде совокупности множества криволинейных четырехугольников. Для придания фигуре большей естественности используются алгоритм удаления невидимых линий каркаса и функциональная закраска четырехугольников с целью имитации бокового освещения фигуры.

Для построения графиков трехмерных поверхностей используется основная графическая функция Plot 3D:

· Plot3D[f, {x, xmin, xmax), {у, ymin, ymax}] — строит трехмерный график функции f переменных х и у;

· Plot3D[{f, s}, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}] — строит трехмерный график, в котором высоту поверхности определяет параметр f, а затенение — параметр s.

На рис. 8 показан пример построения поверхности, описываемой функцией двух переменных cos(x у) при х и у, меняющихся от -3 до 3. Поверхность строится в виде каркаса с прямоугольными ячейками с использованием функциональной окраски. Все опции заданы по умолчанию.

 

 

Рис. 8. Пример построения поверхности cos(xy) функцией Plot3D с опциями по умолчанию

 

Э  тот график будем считать исходным для демонстрации его модификаций, получаемых путем изменения опций.

 

Графическая функция ListPlot3D

 

Часто трехмерная поверхность задается массивом своих высот (аппликат). Для построения графика в этом случае используется графическая функция ListPlotSD:

ListPlot3D [array] — строит трехмерный график поверхности, представленной массивом значений высот;

ListPlot3D [array, shades] — строит график так, что каждый элемент поверхности штрихуется (затеняется) согласно спецификации shades.

Plot Joined — дополнительная опция для ListPlot, указывающая, следует ли соединять линией точки, нанесенные на график.

 

Пример применения функции ListPlotSD показан на рис. 9. График построен по данным таблицы tS, формирующей значения аппликат поверхности, которая описывается функцией cos(xy).

 

 

Рис. 9. Пример применения функции ListPlotSD