Особенности формирования математических понятий в 5-6 классах

Всякое понятие, в том числе и математическое, является абстракцией от множества конкретных объектов, которые описываются им. В понятии отражаются устойчивые свойства изучаемых объектов, явлений. Эти свойства повторяются у всех объектов, которые объединяются понятием. Но каждый реальный объект имеет некоторые другие свойства, присущие только ему. Различие в несущественных свойствах только оттеняет, подчёркивает существенные.

Если в начальных классах обучение ведётся в основном на наглядно образном уровне мышления, то в 5-6 классах более глубоко развивается словесно-логическое мышление. Содержанием такого мышления являются понятия, сущность которых «уже не внешние, конкретные, наглядные признаки предметов и их отношения, а внутренние, наиболее существенные свойства предметов и явлений и соотношения между ними».

Все понятия, изучаемые в начальных классах, в дальнейшем переосмысливаются на более высоком теоретическом уровне (переменная, уравнение, фигура и др.) или углубляются и обобщаются (понятие о числе, алгоритмы арифметических действий, законы арифметических действий и др.).

Не всегда есть возможность да и необходимость формировать определения по конструкции: 1) указывается род; 2) указываются те признаки, которые отличают этот вид (определяемое понятие) от других видов ближайшего рода. Учащихся учат на наглядно-интуитивной основе понимать значение существенных и несущественных признаков для раскрытия сути определяемого понятия, то есть достаточно сформировать правильное представление. В курсе математики 5-6 классов это часто достигается с помощью поясняющих  описаний – доступных для учащихся предложений, которые вызывают у них один наглядный образ, и помогают усвоить понятие. Здесь не ставится требование сведения нового понятия к ранее изученным. Усвоение должно быть доведено до такого уровня, чтобы в дальнейшем, не вспоминая описания, ученик мог узнать объект, относящийся к данному понятию. Пример, поясняющие описания многоугольника, многогранника, расстояния, симметрий, натурального числа и др.

Большинство детей 5-го класса воспринимает объяснительный текст учебника, формулировки определений и правил вполне однородными – им трудно найти определяемое и определяющее понятие, указание на математические свойства математического объекта. Именно этим в значительной степени объясняются трудности в заучивании и верном воспроизведении теоретических положений, правил действий: все слова ученику кажутся одинаково важными (или одинаково неважными?), а потому заучивание происходит чисто механически, и потеря или замена остаются им незамеченными.

Главное в работе с определениями в 5-6 классах – показывать учащимся отличие определений от других предложений, выделенных в учебнике жирным шрифтом; учить их анализировать конструкцию определений; индуктивным методом формировать определения основных понятий.

Если учащиеся в 5-6 классах получат необходимые навыки в работе с определениями, будут понимать простые логические рассуждения и отличать логические конструкции различных математических предложений, то они смогут изучать курс математики старших классов более осознано.

Определения рассматриваются в простейшем варианте через род и вид. Формирование понятия доказательства опирается на реальные жизненные представления о необходимости обоснования, её убедительности рассуждений. Этот начальный этап постепенно сменяется представлениями о доказательстве, адекватном математике.

Проанализировав учебники для 5-6 классов, увидим, что аксиоматические определения отсутствуют, геометрические понятия в большинстве своём определяются через конструирование, алгебраическим понятиям, в основном, даются определения-соглашения, поясняющее описание.

Приведём сравнительное процентное соотношение определений, даваемых в учебниках [10, 11, 12, 13]. В [11, 13] присутствует 53% определений-соглашений, 20% — пояснительных описаний, 27% — конструктивных определений, а в [10, 12] определений-соглашений — 33%, пояснительных описаний — 32%, конструктивных определений — 35%. Отличия объясняются большим количеством геометрических понятий, вводимых в [10,12].

Вводить понятия на данном этапе обучения следует конкретно-индуктивным путём, уделяя большое внимание мотивации введения. Для усвоения понятий в этом возрасте психологи советуют давать 10-12 заданий.

Рассмотрим конкретные примеры.

Угол

На каждом из рисунков найдите и назовите лучи и их начала. Что такое "луч"? Есть ли у луча начало?

Рис.8

Вы знаете что такое многоугольник (рис.8). Какие элементы многоугольника вы можете назвать? (Стороны, вершины). Оказывается, что у многоугольника существуют ещё элементы. Сегодня нам и предстоит их изучить. Обратите свое внимание на рис.4, вы видите два луча с общим началом, вместе они составляют единую фигуру. И чтобы не делить её на части, древними

Рис.8

было дано этой фигуре особое название — "угол".

 

Как же получают фигуру, называемую углом?

1. Берут произвольную точку (в нашем случае это точка О);

2. Проводят два луча с началом в этой точке (ОА, ОВ).

Таким образом, углом называют фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки (ребята могут сформулировать определение сами!). Лучи, образующие угол, называют сторонами угла, а точку, из которой они выходят, — вершиной угла.

На нашем рисунке сторонами угла являются лучи ОА и ОВ, а его вершиной — точка О. Этот угол обозначают так: <АОВ. При записи угла в середине пишут букву, обозначающую его вершину. Угол можно обозначать и одной буквой (название его вершины): <О.

Задание 1:На каждом из рисунков (рис.1—рис.7) выберите углы и правильно назовите их.

Задание 2: Выберите правильное обозначение следующих углов.

А)<K                А)BCN           А) <KCM       А) М

Б) <KMN          Б) <CNB         Б) <KMC        Б) <MCK

В) <N                B) <BCN        B) <MCK       B) <K

                         Г) <NCB         Г) D           

                         Д) <С

Задание 3: Напишите в тетради обозначения следующих углов. И зарисуйте их.

 

 

Задание 4: Начертите произвольные углы: <ABO, <C, <MKL, <HFK, <F.

 

Давайте рассмотрим, как могут располагаться точки на плоскости, относительно данного угла.

На рисунке изображён угол F.

Точки C,D лежат внутри угла F.

Точки X,Y лежат вне угла F.

Точки M,K – на сторонах угла F.

Задание 5: Начертите угол О и изобразите следующие точки:

                А) А, В, С – внутри угла О;

                Б) D, F, E, K – на сторонах угла О;

                В) M, P, S, T – вне угла О.

Задание 6: Начертите угол MOD и проведите внутри него луч ОТ. Назовите и обозначьте углы, на которые этот луч делит угол MOD.

Задание 7: Начертите 4 луча: ОА, ОВ, ОС, OD. Запишите названия шести углов, сторонами которых являются эти лучи.