Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа.

Преобразование Лапласа имеет вид :

                       (1)

На f ( t ) наложены условия :

1) f ( t ) определена и непрерывна на всем интервале: (-¥ ; ¥ )

2) f ( t ) º 0 , t Î (- ¥ ;0)

3) При  M, S₀ >0 , для всех t > 0 выполняется условие |f(t)|<Me ^S0t

 

Если отказаться от условий 2 и 3, и считать, что f ( t ) принимает произвольное значение при t < 0, то вместо (1) можно рассмотреть следующий интеграл :

                       (2)

Формула (2) – двустороннее преобразование Лапласа.

Пусть в (1) и (2) p = a + in, где a и n – действительные числа.

Предположим, что Re( p ) = a = 0, т.е.

                      (4)

                      (5)

(4) и (5) соответственно односторонние и двусторонние преобразования Фурье.

 

Для существования преобразования Фурье, функция должна удовлетворять условиям :

 

1) Должна быть определена на промежутке (-¥ ; ¥ ) , непрерывна всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода.

2) Любой конечный промежуток оси t можно разделить на конечное число промежутков, в каждом из которых функция либо кусочно-гладкая, либо кусочно-монотонная.

3) Функция абсолютно интегрируема : , это условие выполняется, если |f(t)|<Me ^S0t

 

Из существования преобразования Лапласа не следует преобразование Фурье. Преобразования Фурье существуют для более узкого класса функций. Преобразования Фурье не существуют для постоянной и ограниченной функции : f ( t ) = C

Аналогично преобразования Фурье не существуют и для гармоничных функций :

т.к.

 

Если f ( t ) = 0 при t >0 и преобразование для этой функции существует, то оно может быть получено из таблицы оригиналов и изображений для преобразования Лапласа путем замены параметра t на iu, но при этом необходимо убедиться, что F ( p ) не обращается в число справа от мнимой оси.

Если f(t) ¹ 0, t<0

(6)

 

Обозначим

Очевидно, что                            (6’)

Функция (6) называется спектральной плотностью

В связи с изложенным можно указать два пути отыскания спектральной плотности :

1) Вычисление интеграла (5)

2) Использование преобразования Лапласа или Фурье.

 

 

Непосредственное вычисление спектральной плотности для абсолютно интегрируемой функции.

Функция F ( iu ) может быть представлена, как комплексная функция действительной переменной

                                           (7)

|F ( iu )| - амплитудное значение спектральной плотности, y (u) – фазовый угол.

В алгебраической форме : F ( iu ) = a ( u ) + ib ( u )

                                      (8)

                                                 (9)

Для непосредственного вычисления спектральной плотности вычисляется интеграл (6), а затем по формулам (8) и (9) определяется амплитудное значение |F ( iu )| и фазовый угол y (u).

 

Пример.

Найти спектральную плотность импульса :

откуда , далее

 

Отыскание спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций.

Прямое преобразование Фурье для таких функций не существует, существует преобразование Лагранжа.

Прямое преобразование Фурье необходимо :

1) Для облегчения процесса решения дифференциальных и интегральных уравнений.

2) Для исследования амплитудной и частотной характеристик спектральной плотности, определенной всюду на числовой оси.

Введем следующее определение спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций:

Если для заданной функции y = f ( t) существует непрерывное изображение по Лапласу F ( p ), то спектральной плотностью функции называется изображение функции по Лапласу при p = iu .

Спектральной плотностью F ₁ ( iu ) неабсолютно интегрируемой функции называется предел от спектральной плотности F ₂ ( iu a ) абсолютно интегрируемой функции.