Свойства от синусоидальной спирали
· Точка, где лемниската пересекает саму себя, называется узловой или двойной точкой. · Касательные в двойной точке составляют с отрезком F1F2 углы . · Угол μ, составляемый касательной в произвольной точке кривой с радиус-вектором точки касания равен . · Касательные в точках пересечения кривой и хорды, проходящей через двойную точку, параллельны друг другу. · Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит лемнискату Бернулли в равнобочную гиперболу. · Радиус кривизны лемнискаты есть Есть частный случай формулы радиуса кривизны синусоидальной спирали:
при m = 2,
однако, легко вывести и по определению. Уравнение лемнискаты в полярной системе: Формулы перехода к полярной системе координат:
Выражаем :
Подставляем в уравнение лемнискаты и выражаем x и y:
—- это параметрическое уравнение относительно . Проведя некоторые тригонометрические преобразования, можно получить уравнение относительно , указанное выше в разделе Уравнения. Формула радиуса кривизны кривой, заданной параметрически:
Находим производные по :
Подставляем в формулу радиуса:
Возвращаемся к уравнению лемнискаты:
Подставляем это выражение в полученную формулу радиуса и получаем:
·Натуральное уравнение кривой имеет вид
· Подерой лемнискаты является синусоидальная спираль
· Лемниската сама является подерой равносторонней гиперболы. Собственные свойства: Гравитационное свойство лемнискаты · Кривая является геометрическим местом точек, симметричных с центром равносторонней гиперболы относительно её касательных. · Отрезок биссектрисы угла между фокальными радиус-векторами точки лемнискаты равен отрезку от центра лемнискаты до пересечения её оси с этой биссектрисой. · Материальная точка, движущаяся по кривой под действием однородного гравитационного поля, пробегает дугу за то же время, что и соответствующую хорду. При этом ось лемнискаты составляет угол с вектором напряжённости поля, а центр лемнискаты совпадает с исходным положением движущейся точки. · Площадь полярного сектора , при :
o В частности, площадь каждой петли , то есть площадь, ограниченная кривой, равна площади квадрата со стороной . · Перпендикуляр, опущенный из фокуса лемнискаты на радиус-вектор какой-либо её точки, делит площадь соответствующего сектора пополам. · Длина дуги лемнискаты между точками и выражается эллиптическим интегралом рода: · где
o В частности, длина всей лемнискаты
Приложение
В геометрии, синусоидальная спираль — семейство кривых, определяемое уравнением в полярной системе координат:
rn = ancos(nθ),
где a — ненулевая константа и n — рациональное число, не равное нулю. С учетом возможности поворота кривой относительно начала координат уравнение также может быть записано в виде:
rn = ansin(nθ)
Использование термина «спираль» в данном случае не является точным, т. к. получаемые кривые по форме скорее напоминают цветок. Многие известные кривые являются частными случаями синусоидальной спирали: · Прямая (n = −1) · Окружность (n = 1) · Гипербола (n = −2) · Парабола (n = −1/2) · Кардиоида (n = 1/2) · Лемниската Бернулли (n = 2) Впервые была изучена Маклореном.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (227)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |