Дифференциальные уравнения равновесия
Пусть — произвольный объём тела ограниченный замкнутой поверхностью . Вектор массовых сил, отнесённый к единичному объёму, обозначим , а вектор поверхностных сил, действующих на единичную площадь , где — нормаль к поверхности в данной точке. Главный вектор внешних сил, действующих на тело, состоящий из главного вектора объёмных сил равен нулю:
Спроектируем это равенство на ось X:
Используя первую из формул (4) и учитывая (3) получим
С помощью формулы Грина-Остроградского преобразуем поверхностный интеграл к объёмному.
Т.к. условия равновесия должны соблюдаться для любого объёма, то подынтегральная функция должна быть равной нулю в любой точке тела. Аналогичным образом, проектируя векторное равенство (*) на оси Y и Z получим систему дифференциальных уравнений равновесия.
Деформированное состояние в точке
Деформированное состояние в точке определяется тензором деформаций. Т.е. удлинение в данной точке по любому направлению может быть вычислено, если заданы удлинения по трём взаимно перпендикулярным осям и углы сдвига по трём взаимно перпендикулярным площадкам, нормалями к которым служат оси. Тензор деформаций выглядит
Здесь , , — деформации относительного удлинения в направлении соответствующих осей. ,…, — углы сдвига в соответствующих координатных плоскостях. Связь между компонентами тензора деформаций и перемещениями
Рассмотрим малый элемент, который в процессе деформации изменил свою конфигурацию. На рисунке показана одна из граней, совпадающая с плоскостью осей X и Y:
аналогично Угол сдвига — это угол, на который изменится первоначально прямой угол, т.е.
Аналогично определяется и другие компоненты тензора деформаций. Итак! Соотношения Коши:
; ; ; ; ;
Шесть компонент тензора деформаций выражаются через три компоненты вектора перемещения. Отсюда следует, что компоненты тензора деформаций не являются независимыми. И в самом деле, они связаны соотношениями называемыми уравнениями совместности деформаций. Условиям совместности деформаций можно придать следующий смысл. Разрежем тело на малые элементы, деформируем каждый из элементов в отдельности и соберём из деформированных элементов тело. Тогда, если деформации правильные, т.е. удовлетворяющие уравнениям совместности, то собранное тело не будет иметь разрывов и пустот.
Обобщённый закон Гука
Будем основываться на известном нам законе Гука для одноосного состояния
,
и принципе независимости действия сил. Обратим внимание на такой факт, что с точностью до малых высшего порядка, нормальные напряжения не вызывают сдвигов, а в свою очередь касательные напряжения не вызывают удлинений. Рассмотрим малый элемент (рис.50). Воспользуемся принципом независимости действия сил. 1) Пусть действуют только напряжения .
, тогда ;
2) ; ; ; 3) ; ; ;
При совместном действии всех трёх напряжений
Аналогично определяется и деформации и . В результате получаем уравнения называемые обобщённым законом Гука.
; ; ;
К таким уравнениям нужно добавить ещё три соотношения
; ;
Три дифференциальных уравнения равновесия, шесть соотношений Коши и шесть соотношений обобщённого закона Гука составляют систему уравнений теории упругости, в которых неизвестными будут шесть компонент тензора напряжений, шесть компонент тензора деформаций и три компоненты перемещения.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (156)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |