Фононный спектр. Плотность фононных состояний . Свойства фононов

 

Расчет фононного спектра – сложная задача, требующая подробного знания сил, действующих между атомами. Определение плотности фононных состояний вносит дополнительные трудности. Поэтому плотность состояний моделируют простыми функциями, соответствующими простейшим моделям колебаний кристаллической решетки – Дебая и Эйнштейна.

Теория динамики решетки кристаллов включает в себя несколько уровней различающихся степенью микроскопичности и количеством параметров, определяемых вне рамок теории, например по экспериментальным данным.

На одном конце этого ряда – феноменологический метод силовых постоянных Борна фон Кармана, на другом – расчеты из первых принципов фононных спектров и других характеристик решетки, ставшие возможными в последнее время благодаря развитию методов расчета электронной структуры кристаллов и развитию ЭВМ. Между этими двумя крайними подходами находится множество эмпирических и полуэмпирических модельных теорий, так или иначе учитывающих физико-химические свойства конкретных материалов.

Характерной чертой модельных подходов к описанию динамики решетки является их не универсальность, невозможность переноса моделей с одного класса материалов на другой, отличающийся, например, типом химической связи, а также невозможность переноса атомных параметров моделей при изменении окружения атома в решетке.

Для экспериментального исследования дисперсии нормальных мод используются, в основном, рассеяние нейтронов и фотонов. Энергию, теряемую (или приобретаемую) нейтроном за счет взаимодействия с кристаллом, можно считать связанной с испусканием (поглощением) фононов.

Измеряя углы выхода и энергию рассеянных нейтронов, удается получить непосредственную информацию о фононном спектре. Аналогичную информацию можно получить из экспериментов по рассеянию электромагнитного излучения. Также используется измерение фононных спектров с помощью рассеяния света в видимом и инфракрасном диапазоне.

Введем функцию плотности фононных состояний как функцию распределения в статической физике. А именно, если обозначить данную функцию через g(ω), то величина g(ω)dω равна относительному числу dZ/Z фононных состояний в интервале частот (ω,ω + dω):

 

. (2.2.6)

 

Условие нормировки для g(ω)будет следующим:

 

. (2.2.7)

 

Иногда величину g(ω)dω рассматривают как абсолютное число dZ фононных состояний, в частности, для одного моля в интервале частот (ω,ω + dω) т.е.:

 

. (2.2.8)

 

Тогда условие нормировки запишется в виде:

 

, (2.2.9)

где 3N_A – полное число нормальных колебаний в одном моле, а функция распределения g(ω) имеет размерность . В литературе функцию g(ω) иногда называют фононным спектром.

Получим выражение для плотности фононных состояний кристаллов в приближении Дебая. Для этого выделим объем в виде куба с ребром L.

 

 

Из теории колебаний известно, что в непрерывной среде могут распространяться волны любой частоты. Мы ограничимся рассмотрением только стоячих волн. Именно такие волны соответствуют тепловым возбуждениям континуума, т.к. все остальные волны быстро затухают. Будем рассматривать 3N стоячие упругие волны. Найдем функцию распределения таких волн в кубе объемом L³.

Известно, что стоячая волна существует тогда, когда вдоль выделенного направления укладывается целое число полуволн. Для произвольного направления рассматриваемого куба данное условие запишется в виде:

 

 (2.2.10)

 

Где , , , – направляющие конусы; Lcos , Lcos , Lcos – проекции отрезка вдоль выбранного направления на декартовы оси координат, начало которых совпадает с вершиной куба; q_x, q_y, q_z – числа полуволн вдоль каждой оси координат. Возведем (2.2.10) почленно в квадрат и сложим.

С учетом того, что , получим:

 

 (2.2.11)

 (2.2.12)

 (2.2.13)

 

Уравнение (2.2.11) – уравнение сферы радиуса 2L/λ в обратном

пространстве волновых чисел q [2].

Если учесть, что внутри бруска могут распространяться волны разной длины, то целые числа q_x, q_y, q_z очень мало отличаются друг от друга, следовательно, величину q можно считать квазинепрерывной. С другой стороны число q определяет все возможные фононные состояния. Воспользуемся принципом соответствия: от стоячей волны перейдем к картине гармонических осцилляторов. Как видно число всевозможных стоячих волн определяется набором чисел q_x, q_y, q_z:

 

 

В данном случае воспользуемся свойством изотропности континуума: любое направление в континууме является равновероятным (эквивалентным). В формуле (3) величины q_x, q_y, q_z заведомо положительные, поэтому вероятности отвечает только ¹/₈ часть сферы. Объем данной ¹/₈ части:

 

 (2.2.14)

 

Известно, что каждому значению волнового числа q соответствуют три поляризации волн: одна продольная и две поперечные.

dZ= q dq = g( )d (2.2.15)

 

Определим g ( ) для продольных волн.

Известно, что для звуковых волн

2 = , где -скорость распространения продольных волн.

С учетом этого (2.2.10) запишется

 

q = , dq =

 

Тогда

 

dZ= где V- объем куба.

 

Имеем, что функция распределения для продольных волн равна:

 

q (2.2.16)

 

Аналогичные расчеты можно провести и для поперечных волн. Число поперечных стоячих волн в два раза больше, т.е.:

 

 (2.2.17)

 

Подставляя (17) в (16), получим

 

. (2.2.18)

Суммарная плотность состояний равна

 

 (2.2.19)

 

Окончательно получим, что

 

 , L (2.2.20)

 

На рисунке (4) полученная параболическая зависимость и есть фононный спектр кристаллов в приближении Дебая.

Недостатком является то, что в области высоких частот или малых длин волн плотность стремится к бесконечности. Такого на практике нет. Указанный недостаток вытекает из того, что в упругом континууме могут распространяться колебания со сколь угодно малой длинной волны. В действительности ситуация выглядит иначе: в дискретной среде минимальная длина волны равна удвоенному межатомному расстоянию, следовательно должна существовать максимальная частота. Известно, что фононный спектр должен удовлетворять условию нормировки: полное число состояний: z=3N

 

 (2.2.21)

 

Подставим (2.2.20) в (2.2.21):

 

 (2.2.22)

 (2.2.23)

 

«В» из условия нормировки запишется следующим образом:

 

 (2.2.24)

 

Подставляя (2.2.24) в (2.2.20):

 

 (2.2.25)

 

Для характеристики максимальной частоты Дебай ввел так называемую характеристическую температуру:

 

. (2.2.26)

 

Физический смысл величины  состоит в том, что она равна температуре, выше которой возбуждены все колебательные моды. Температуру  можно оценить из следующей функции:

 

. (2.2.27)

 

Таким образом, используя данные о концентрации атомов N/V в реальном кристалле и скоростях звука v_L и v_т, получим значение дебаевской температуры  [2].

Рисунок 4. Дебаевский фононный спектр.

 

Газ фононов в гармоническом приближении представляет собой совокупность независимых квазичастиц. Следовательно, статистика фононов в данном случае удовлетворяет следующим условиям:

1. Каждый фонон может, находиться в любом из состояний с уровнями энергий (1.2.3).

2. Нет ограничений на число фононов в отдельном квантовом состоянии .

3. Полное число фононов в системе не сохраняется.

Так как общее число фононов в кристалле не ограничено, то химический потенциал фононного газа равен нулю. А именно, при нагревании кристалла тепловая энергия, а следовательно, и число фононов изменяются таким образом, что система стремится к равновесию. Условие равновесия кристалла определяется в нашем случае минимумом свободной энергии Гельмгольца , т.е. химический потенциал фононов μ = 0 [2].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В ходе написания данной курсовой работы было проделано следующее:

1.Изучены основы теории динамики кристаллической решетки. Получено уравнение движения для отдельного атома, а затем и для любого числа атомов. Рассмотрены колебания атомов в случае однородной цепи. Изучена дисперсия частот атомных колебаний, а также соответствующие им дисперсионные кривые (рисунок 3).

3. Изучена статистика, которой подчиняются фононы, в ходе чего было выяснено, что фононы, также как и фотоны, подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна. Фонон, так же как и фотон, является бозе-частицей, т. е. отсутствует ограничение на число квазичастиц в заданном состоянии, которое зависит только от температуры. Фононы представляют собой газ невзаимодействующих бозе-частиц.

3.Был рассмотрен фононный спектр и плотность фононных состояний и наряду с этим свойства фононов. В результате чего было выяснено, что фононный спектр графически можно представить в виде параболической зависимости (рисунок 4) . Было выяснено, что химический потенциал фононного газа равен нулю. А именно, при нагревании кристалла тепловая энергия, а, следовательно, и число фононов изменяются таким образом, что система стремится к равновесию.

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников. – М.: Наука, 1978. – 615с.

2. Квантовая теория динамики кристаллической решетки / А.Ф. Ревинский. – Брест: Изд-во БрГУ, 1998. – 215 с.

3. Бетгер Х. Принципы динамической теории решетки. М.: Мир. – 1968. – 362 с.

4. Ашкрофт М, Мермин М. Физика твердого тела. В 2-х томах./ - пер. с анг. А. С.Михайлова, под ред. М.И. Каганова. – М.: Мир, 1997.

5. Рейсленд Дж. Физика фононов / Под ред. С.Жданова.–М. – Мир, 1975. – 365 с.

6. Давыдов, Н.И. – Теория твердого тела. – М.: Наука, 1976 г. – 511 с.