Выбор образующего полинома

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«ОСНОВЫ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ»

ВАРИАНТ № 10

 

Выполнил:

Проверил:

Студент Иванов И.И.

Преподаватель Синельников А.В.

Группа: РКС10-32

 

Новосибирск 2009

Общее задание

Разработать систему кодирования/декодирования циклического кода для -элементного первичного кода, который обнаруживает  и исправляет  ошибок. Оценить вероятность получения необнаруживаемой ошибки на выходе системы, если  в канале связи меняется от  до .

 

Исходные данные

 

Необходимые для решения задачи исходные данные выбираются по таблице 1 в соответствии с полученным вариантом.

 

Таблица 1

Исходные данные для вариантов расчетно-графической работы.

Вариант №	Количество элементов в коде	Количество исправляемых ошибок	Вариант №	Количество элементов в коде	Количество исправляемых ошибок
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 5 6	1 5 3 2 4 1 2 4 6 1 3 2 3 3 5 4 2 3 4 2	21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40	7 8 9 5 6 7 8 6 7 5 5 6 7 6 9 8 10 5 5 8	4 3 1 5 1 2 5 6 1 3 5 2 4 6 3 4 2 4 5 3

 

Этапы выполнения работы

 

1. Определение числа проверочных элементов избыточного кода.

2. Выбор образующего многочлена для построения кода, указанного в задании.

3. Расчёт матрицы синдромов для однократной ошибки.

4. Построение функциональной схемы устройств кодирования-декодирования полученного кода.

5. Построение графика появления необнаруживаемой ошибки при заданном изменении вероятности ошибки в канале связи.

ЗАДАНИЕ ВАРИАНТА

 

Разработать систему кодирования/декодирования для k = 8-элементного первичного кода, когда код обнаруживает и исправляет t_И = 1-ошибку. Оценить вероятность обнаружения ошибки на выходе системы передачи, если вероятность ошибки в канале связи Р_ОШ меняется от  до .

 

РЕШЕНИЕ

 

Определение количества поверочных элементов r .

Исходя из того, что k = 8 и t_И = 1, решаем систему уравнений:

 

 

Откуда следует:

 

 

Составляем таблицу:

1 2 3 4	1 2 5 12

 

Откуда определяем: r = 4, n = k + r = 8 + 4 = 12.

Выбор образующего полинома

После определения проверочных разрядов r, выбираем образующий полином G(x) (многочлен) степени, равной r.

Образующий полином G(x) должен обладать некоторыми свойствами:

1) Остатки от деления должны быть все разные, т.е. его нельзя составить из степеней низших порядков, он неприводимый.

2) Число остатков у этого полинома должно быть равно количеству ошибок в коде, т.е. такие полиномы примитивные.

С помощью таблицы образующих полиномов можно найти необходимый полином. В приводимой таблице указаны некоторые свойства этих многочленов и соотношения между ними. Приводятся примитивные многочлены с минимальным числом ненулевых коэффициентов. Многочлены даны в восьмеричном представлении.

Двойственный многочлен неприводимого многочлена также неприводим, а двойственный многочлен примитивного многочлена примитивен. Поэтому каждый раз в таблице приводится либо сам многочлен, либо двойственный многочлен. Каждая запись в таблице, оканчивающаяся некоторой буквой, соответствует некоторому неразложимому многочлену указанной степени. Для степеней от 2 до 16 этими многочленами, а также двойственными к ним исчерпываются все неразложимые многочлены этих степеней.

Буквы, которые приведены после восьмеричного представления многочлена, дают о нем следующую информацию:

A , B , С, D Не примитивный

Е, F , G , Н Примитивный

A , B , Е, F Корни линейно зависимы

С, D , G , Н Корни линейно независимы

A , C , Е, G Корни двойственного многочлена линейно зависимы

B , D , F , Н Корни двойственного многочлена линейно независимы
Выписываем часть таблицы неприводимых полиномов:

 

 

Из таблицы выбираем полином (1 23F) и затем переводим из восьмеричного в двоичное представление:

 

 

Получили образующий полином:

 

G(x) = x⁴ + x + 1.