Проверка образующего полинома

1. Определяем необходимое кодовое расстояние:

 

 

2. Вычисляем: f(x) = x^k-1 = x⁷ = 10000000

3. Находим:   f(x)x^r = x¹¹ = 100000000000

4. Поделим f(x)x^r на G(x):

 

x¹¹ x⁴ + x + 1

x¹¹ + x⁸ + x⁷ x⁷ + x⁴ + x³ + x

x⁸ + x⁷

x⁸ + x⁵ + x⁴

x⁷ + x⁵ + x⁴

x⁷ + x⁴ + x³

x⁵ + x³

x⁵ + x² + x

 

 x³ + x² + x = r(x) = 1110

Полученный остаток от деления является комбинацией проверочных элементов:

 

r(x) = 1110

 

5. Записываем многочлен комбинации:

 

F(x) = f(z)x^r + r(x) = 100000001110

 

Определяем вес многочлена (количество единиц в комбинации): V = 4.

6. Сравниваем V с d₀, поскольку выполняется условие: V ³ d₀, то выбранный полином подходит как образующий.

 

Построение матрицы синдромов для однократной ошибки

 

Для определения элементов матрицы синдромов будем вносить ошибку в кодовую комбинацию (F(x) = 100000001110) поочерёдно начиная со старшего разряда, затем делить на образующий полином, полученный остаток и будет одной из строк матрицы синдромов. Пусть ошибка произошла в самом старшем разряде, тогда она имеет вид 000000001110, т.е. деление такого числа на образующий полином и есть это число. Следовательно это синдром для ошибки в разряде а1. Определим синдромы для остальных разрядов.

 

для а2:

 

x¹⁰ x⁴ + x + 1

x¹⁰ + x⁷ + x⁶ x⁶ + x³ + x² + 1

x⁷ + x⁶

x⁷ + x⁴ + x³

x⁶ + x⁴ + x³

x⁶ + x³ + x²

x⁴ + x²

x⁴ + x + 1

x² + x + 1 = s(x) = 0111

для а3:

 

x⁹ x⁴ + x + 1

x⁹ + x⁶ + x⁵ x⁵ + x² + x

x⁶ + x⁵

x⁶ + x³ + x²

x⁵ + x³ + x²

x⁵ + x² + x

x³ + x = s(x) = 1010

 

для а4:

 

x⁸ x⁴ + x + 1

x⁸ + x⁵ + x⁴ x⁴ + x + 1

x⁵ + x⁴

x⁵ + x² + x

x⁴ + x² + x

x⁴ + x + 1

x² + 1 = s(x) = 0101

 

для а5:

 

x⁷ x⁴ + x + 1

x⁷ + x⁴ + x³ x³ + 1

x⁴ + x³

x⁴ + x + 1

x³ + x + 1 = s(x) = 1011

 

для а6:

 

x⁶ x⁴ + x + 1

x⁶ + x³ + x² x²

x³ + x² = s(x) = 1100

 

для а7:

 

x⁵ x⁴ + x + 1

x⁵ + x² + x x

x² + x = s(x) = 0110

 

для а8:

 

x⁴ x⁴ + x + 1

x⁴ + x + 1 1

x + 1 = s(x) = 0011

 

Таким образом, матрица синдромов имеет вид:

 

Полученная матрица синдромов используется для алгоритма построения дешифратора ошибок разрабатываемого далее декодера.

 

Схема кодера циклического кода (12, 8)

 

Образующий полином G(x) можно представить в виде:

 

G(x) = g₄x⁴ + g₃x³ + g₂x² + g₁x + g₀, где g₄ = 1, g₃ = 0, g₂ = 0, g₁ = 1, g₀ = 1.

 

Тогда устройство кодирования имеет вид:

 

Рис.1. Схема устройства кодирования циклического кода (12, 8).

Принцип работы устройства:

 

В исходном состоянии ключ находится в положении 1, на вход устройства поступает первичная кодовая комбинация f(x) (начиная со старшего разряда). Через k-тактов вся первичная кодовая комбинация поступит на выход, а в результате деления (благодаря обратной связи) образуется остаток. Ключ переключается в положение 2. Таким образом, через n-тактов на выходе получим F(x).

 

Схема декодера циклического кода (12, 8).

 

 

Рис.2. Схема устройства декодирования    циклического кода (12, 8).

 

Принцип работы устройства:

 

Исходная комбинация F(x) подается в буферный регистр и одновременно в декодирующий регистр. Если с приходом последнего символа, зафиксирован нулевой остаток (синдром 0000), то ошибок нет, если же не нулевой, то есть. Принятая комбинация подается через выходной сумматор, и искаженный сигнал исправляется.