Аппроксимация функции log2x и “специализация” возведения в степень

Логарифмирование плохо поддается аппроксимации с помощью кубических сплайнов – точнее, мне удалось это сделать, причем с весьма высокой точностью, но лишь ценой проигрыша по времени в сравнении с использованием FYL2X. Однако здесь есть что предпринять и не прибегая к сплайнам.

Как известно, функция ln(1+x) при |x|<1 разлагается в ряд Тейлора следующим образом:

ln(1+x)=x-x2/(1*2)+x3/(1*2*3)+…+ xi/i!+…

Если абсолютная величина x достаточно мала, члены ряда, уже начиная с третьего, достаточно слабо сказываются на результате. Поэтому для значений x, достаточно близких к 1 (чтобы остаться в оговоренных выше рамках приемлемых погрешностей, x должен отстоять от 1 не больше чем на 0.01), вычисление log2(x)=ln(x)/ln(2)=ln(x)*log2(e)=ln(1+(x-1))*log2(e) можно заменить вычислением (t-t*t/2)*log2(e), где t=x-1.

Это позволяет построить еще один вариант функции возведения в степень для значений основания, близких к 1. В нем нет инструкции FYL2X, а вместо нее присутствует блок инструкций, помеченных символом “ * ” (знак “~” означает приближенное равенство):

Таким образом, нам в этом случае (при x, близких к 1) удается избавиться от всех инструкций FPU, принадлежащих к группе трансцендентных, что приводит к впечатляющему росту производительности:

Рисунок 4. Временные затраты: New_Power_XNear1 – специализированный вариант New_Power.

К сожалению, с ростом показателя степени максимальная погрешность растет, оставаясь, впрочем, в оговоренных пределах (т.е. меньше 0,1%; более того – меньше 0,01%) даже при очень больших показателях:

Рисунок 5.

Заключение

Таким образом, нам удалось получить функции, превосходящие встроенную по скорости от двух до четырех раз при погрешности порядка 0.004% - 0.01%. Не исключено, что существует возможность провести более качественную и более выгодную в смысле временных затрат аппроксимацию функций; возможно, даже по другому принципу, а не так, как это было сделано здесь (т.е. исходя из соотношения x**y=2**(y*log2(x)) ).

Для тех же случаев, когда необходима высокая точность вычислений, в качестве первого камня фундамента была рассмотрена функция, исправляющая недостаток Delphi RTL. Несомненно, это направление также достойно дальнейших исследований с целью ускорить заведомо медленные вычисления с повышенной точностью.

Список литературы

Intel® Architecture Software Developer’s Manual: том 2, Instruction set reference. Можно найти на сайте Intel www.intel.com.

Intel® VTune™ Performance Analyzer, гипертекстовая справка. И вообще, VTune – замечательный инструмент для поиска шероховатостей в программе.

Intel® Pentium® 4 and Intel® Xeon™ Processor Optimization Reference Manual. Все там же, на сайте Intel.