И. Ануфриев, А. Смирнов, Е. Смирнова «MATLAB 7» Cанкт-Петербург 2005 г

Контрольная работа

по дисциплине: Основы теории динамических систем

Содержание

Введение

1. Бифуркационное дерево

2. Постановка задачи

Литература

Приложение

Введение

К хаосу системы могут переходить разными путями. Среди последних выделяют бифуркации, которые изучает теория бифуркаций. Бифуркация (от лат. bifurcus - раздвоенный) представляет собой процесс качественного перехода от состояния равновесия к хаосу через последовательное очень малое изменение периодических точек.

Мы знаем из определения, бифуркации возникают при переходе системы от состояния видимой стабильности и равновесия к хаосу. Примерами таких переходов являются дым, вода и многие другие самые обычные природные явления. Так, поднимающийся вверх дым сначала выглядит как упорядоченный столб. Однако через некоторое время он начинает претерпевать изменения, которые сначала кажутся упорядоченными, однако затем становятся хаотически непредсказуемыми. Фактически первый переход от стабильности к некоторой форме видимой упорядоченности, но уже изменчивости, происходит в первой точке бифуркации. Далее количество бифуркаций увеличивается, достигая огромных величин. С каждой бифуркацией функция турбулентности дыма приближается к хаосу. С помощью теории бифуркаций можно предсказать характер движения, возникающего при переходе системы в качественно иное состояние, а также область существования системы и оценить ее устойчивость.

Бифуркационное дерево

Характерной иллюстрацией возможных бифуркаций в системе служит бифуркационное дерево, представляющее собой зависимость возможных дискретных значений динамической переменной на аттракторе от параметра. Типичный пример такого дерева, построенного с помощью компьютера, показан на рисунке. Приведенный пример относится к одной из эталонных моделей нелинейной динамики – логистическому отображению . Наше аналитическое рассмотрение позволяет нарисовать начальный участок дерева (рис. 1)

Рис. 1. Зависимость установившегося значения переменной от параметра при бифуркации удвоения периода.

На нем изображены устойчивая неподвижная точка и рождающийся 2-цикл. В последнем случае переменная последовательно посещает две ветви дерева. Такую ситуацию расщепления дерева называют бифуркацией удвоения периода. Полное дерево (для всех значений параметра) можно построить с помощью компьютера. Для этого надо задать некоторое начальное значение переменной и параметра. Затем выполнить несколько сот итераций отображения, чтобы исключить переходные процессы и реализовать установившийся режим, и вывести некоторое количество точек на экран дисплея. Затем процедуру повторить для слегка измененного количества параметра (рекомендуем в качестве нового начального значения переменной использовать полученное на предыдущем шаге процедуры) и продолжать повторять до тех пор, пока весь интересующий диапазон значений управляющего параметра не будет пройден. В результате получится картинка, показанная на рис. 2.

На бифуркационном дереве хорошо видны моменты удвоений периода, в которые дерево расщепляется на две ветви, хаотический режим и различные «окна» периодических режимов в хаосе.

Тщательное рассмотрение бифуркационного дерева приводит к интересному выводу: внутри окон периодичности также наблюдаются удвоения периода. Например, при λ=1,75 возникает устойчивый 3-цикл. Однако с ростом λ он исчезает на дереве (на самом деле становится неустойчивым), и от него отделяется устойчивый 6-цикл, затем 12-цикл и т.д. Каскад удвоений 3-цикла завершается переходом к хаосу в своей, новой критической точке. То же самое относится и к циклам других периодов.

Рис. 2. Бифуркационное дерево логистического отображения

Постановка задачи

Создать программу, которая при щелчке мышью на бифуркационном дереве в отдельном окне строит итерационную диаграмму.

Литература

И. Ануфриев, А. Смирнов, Е. Смирнова «MATLAB 7» Cанкт-Петербург 2005 г