Алгебраические критерии устойчивости

РЕФЕРАТ

На тему:

«Устойчивость радиоэлектронных следящих систем»

МИНСК, 2008

Устойчивость - способность системы возвращаться в состояние равновесия после прекращения возмущающего воздействия, которым система была выведена из состояния равновесия.

Устойчивость является одним из основных показателей качества следящих систем. Система, не обладающая устойчивостью, практически неработоспособна. Устойчивость определяется характером собственных колебаний в системе при отсутствии внешних воздействий.

Дифференциальное уравнение, описывающее работу следящей системы:

, (1)

где - задающее воздействие; y(t) – управляемая величина.

Решение дифференциального уравнения представляется суммой общего решения однородного дифференциального уравнения и частного решения неоднородного дифференциального уравнения:

,

где  - общее решение однородного дифференциального уравнения, определяющее характер собственных колебаний в системе при отсутствии внешних воздействий; - частное решение неоднородного дифференциального уравнения, определяющее реакцию системы на внешнее воздействие.

Таким образом, характер собственных колебаний определяется решением уравнения, которое имеет вид:

,

 , (2)

где - коэффициенты, определяемые начальными условиями ( начальные условия – значения выходной величины и её n-1 производных при t=0 ); - корни характеристического уравнения, получаемого из знаменателя передаточной функции:

.

Если все вещественные корни характеристического уравнения отрицательные, а комплексные корни имеют отрицательные вещественные части, то, как следует из (3.2), собственные колебания системы являются затухающими и система является устойчивой.

 Таким образом, для оценки устойчивости системы следует решить характеристическое уравнение и определить положение его корней на комплексной плоскости. Если все корни принадлежат левой полуплоскости комплексной плоскости – система устойчива. Если хотя бы один из корней находится в правой полуплоскости – система неустойчива. Однако вследствие сложности выражений для корней характеристических уравнений высоких порядков этот метод практически непригоден для анализа устойчивости. В связи с этим разработаны критерии устойчивости, позволяющие оценить устойчивость без решения характеристического уравнения. Существуют алгебраические и частотные критерии устойчивости.

Алгебраические критерии устойчивости

Алгебраически критерии устойчивости состоят в проверке системы неравенств, составленных из коэффициентов характеристического уравнения.

 Для систем, описываемых дифференциальными уравнениями не выше 2-го порядка, необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность коэффициентов характеристического уравнения:

>0; ; ,

где n ─ порядок характеристического уравнения.

Для n > 2 это условие является необходимым, но не достаточным. В этом случае из коэффициентов характеристического уравнения необходимо составить матрицу Гурвица, из матрицы составить определители и вычислить.

Если все n определителей, составленных из матрицы Гурвица. положительны при положительном значении коэффициента , система устойчива.

Если хотя бы один из определителей отрицательный – система не устойчива. Система находится на границе устойчивости, если n-й определитель равен нулю.

Достоинством метода является его простота, недостатком – необходимость всякий раз при изменении параметров системы составлять матрицу и вычислять определители. Метод не позволяет также определить запасы устойчивости.

Рассмотрим пример. Пусть n=5.

Матрица составляется по следующему правилу.

По главной диагонали записывают коэффициенты от  до . Затем заполняются строки

коэффициентами в порядке возрастания индексов слева направо от элемента, стоящего на главной диагонали и в порядке убывания индексов справа налево от элемента, стоящего на главной диагонали. Если индекс больше n или меньше нуля, то на соответствующей позиции записывают нуль.

После составления матрицы вычисляют определители Гурвица, симметричные относительно главной диагонали. Фактически необходимо вычислить n-2 определителя:

 ;  ;

 и т.д. ( , .

При этом  

Если > 0 то  определяется .