Итак, Полина была в красном платье, Ольга в синем, Марина в зеленом, а Нина, следовательно, в платье в горошек.

Кого пригласить гости. Строим логическое уравнение:

(Д®А)·(В®ùА)·(С®ДùА)·(СÚВ) º 1.

Используем т. 1: (ùДÚА)·(ùВÚùА)·(ùСÚДùА)·(СÚВ) º 1.

Используем т. 12: (ùДùВÚАùВÚùДùАÚАùА)·(ùССÚДùАСÚùСВÚДùАВ) º 1.

Используем т. 19, 21: (ùДùВÚАùВÚùДùА)·(ДùАСÚùСВÚДùАВ) º 1.

Используем т. 12: ùДùВДùАСÚАùВДùАСÚùДùАДùАСÚùДùВùСВÚ

ÚАùВùСВÚùДùАùСВÚùДùВДùАВÚАùВДùАВÚùДùАДùАВ º 1.

Используем т. 19, 23, 21: ùДùАùСВ º 1.

Итак, в гости можно пригласить только Веру, но ни Дашу, ни Алексея, ни Сашу.

Задание 13.

a) Если число делится без остатка на 4, то оно делится без остатка на 2 (A®B). Данное число делится без остатка на 4 (A).

Следовательно, данное число делится без остатка на 2 (B ).

b) Если число делится без остатка на 4, то оно делится без остатка на 2 (A®B). Данное число не делится без остатка на 2 (ùB).

Следовательно, данное число не делится без остатка на 4 (ùA).

c) Если число делится без остатка на 4, то оно делится без остатка на 2 (A®B). Данное число не делится без остатка на 4 (ùA).

Следовательно, возможно, что данное число не делится без остатка на 2 (ùB).

d) Если число делится без остатка на 4, то оно делится без остатка на 2 (A®B). Данное число делится без остатка на 2 (B).

Следовательно, возможно, что данное число делится без остатка на 4 (A).

a) Кто беден, тот тебе не пара (A®B). Этот человек беден (A). Значит, он тебе не пара (B ).

b) Кто беден, тот тебе не пара (A®B). Этот человек тебе пара (ùB). Значит, этот человек не беден (ùA).

c) Кто беден, тот тебе не пара (A®B). Этот человек не беден (ùA). Возможно, он тебе пара (ùB).

d) Кто беден, тот тебе не пара (A®B). Этот человек тебе не пара (B). Возможно, этот человек беден 4 (A).

Задание 14. Преобразуем модус b в высказывание ((A®B)·ùB)®ùA. Проверяем при помощи тождественных преобразований на тавтологию.

((A®B)·ùB)®ùA º¹ ((ùAÚB)·ùB)®ùA º⁴ (ùAùBÚBùB)®ùA º¹⁰ ùAùB®ùA º^19,21 ù(AÚB)®ùA º⁴ AÚBÚùA º^7,18,20 1.

Формула является тавтологией, модус - правильно построенным умозаключением.

Преобразуем модус d в высказывание ((A®B)·B)®A. Проверяем на тавтологию.

((A®B)·B)®A º¹ ((ùAÚB)·B)®A º¹⁰ (ùAB ÚBB)®A º^{15, 8} B®A.

Конечная формула B®A ложна при истинности B и ложности A, это значит, что и исходное высказывание не является тавтологией. Поэтому модус d не достоверен, заключение истинно лишь с некоторой вероятностью.

Задание 15.

Придет ли Джон на свидание? Психологически напрашивается ответ, что Джон не должен придти на свидание, раз пошел дождь. Но выясним логическую сторону дела. Введем обозначения: не будет дождя – А, Джон придет на свидание – В. Записываем задачу в виде посылок: А®В,ùА. Это посылки недостоверного модуса с. Поэтому, лишь возможно, что Джон не придет на свидание.

Выпить ли мне кофе? Введем обозначения: я выпью кофе - А, не смогу заснуть - В. Записываем умозаключение:

А®В, … .

ùА

Получили первую посылку и заключение отрицающего модуса b. В этом модусе вторая посылка - отрицание второго члена первой посылки, т.е.ùВ, содержательно означает «Но мне необходимо выспаться». Это и есть пропущенная посылка.

Задание 16.

(A ÚBÚCÚD) ®E, ùE , ùA·ùB·ùC·ùD

A® (B ÚCÚDÚE), ùB· ùC· ùD· ùE . ùA

Задание 17.

Обозначения: Джон автор этого слуха - А, Джон глуп - В, Джон беспринципен - С. Записываем посылки: А®В·С,ùВ. Это посылки модуса f. Заключение будет ùА, т.е.: «Джон не является автором этого слуха».

Обозначения: Джон принадлежит нашей компании – А, Джон храбр – В, на Джона можно положиться – С. Записываем посылки: А®В·С,ùА. Это посылки недостоверного модуса с. Заключение: возможно, что ù(В·С). Опираясь на правило де Моргана, переписываем: возможно, что ùВÚùС, или содержательно: «Возможно, что Джон не храбр или на него нельзя положиться».

Задание 18.

Обозначения: он бы ее не подвез - A, они бы не познакомились - B, он бы не узнал, что она так капризна - C, он до сих пор бы верил, что все женщины прекрасны - D, они не поженились - E. Записываем посылки в символическом виде: A®B, C®D, B®E. Переписываем так, чтобы второй член посылки слева был первым членом посылки справа: A®B, B®E, C®D.

Нужно уточнить место посылки C®D. Если ее оставить справа от B®E, то пропущенная посылка будет E®C, т.е. «Если бы они не поженились, то он бы не узнал, что она так капризна». Но можно поставить C®D слева от A®B. Тогда пропущенная посылка будет D®A, т.е. «Если бы он до сих пор верил, что все женщины прекрасны, то он бы ее не подвез». Принимаем как более подходящий по смыслу первый вариант, ставим C®D справа от B®E и вставляем между ними посылку E®C.

A®B,B®E, E®C, C®D .

A®D

Получаем в качестве заключения формулу A®D, т.е. «Если бы он ее не подвез, то до сих пор бы верил, что все женщины прекрасны». Пропущенная посылка: E®C, или «Если бы они не поженились, то он бы не узнал, что она так капризна».

Задание 19.

В первой посылке слабая дизъюнкция, потому что «часы остановились» и «они неисправны» не исключают друг друга. Первое умозаключение - отрицающе-утверждающий модус a. Заключение правильно.

Второе умозаключение построено неверно, так как при слабой дизъюнкции в первой посылке вторая посылка утвердительная, заключения не должно быть.

Третье умозаключение - аналогичный случай. Заключения нет. Четвертое умозаключение - отрицающе-утверждающий модус a. Заключение правильно.

Задание 20.

Джон-логик. Обозначения: уменьшается урожай клевера в Англии - A, закончилась война в Южной Африке - B, уменьшается число старых дев - C, уменьшается число кошек - D, солдаты возвращаются с войны - E, уменьшается число шмелиных гнезд - F, увеличивается число мышей - G.

Переписываем рассуждение в той последовательности, в которой они даны в задаче. Сначала следует вывод, который выглядит внезапным, потому что пропущены посредствующие звенья рассуждения. Этот вывод можно записать так: B, следовательно, A. Лишь затем идут остальные посылки: C®D, E®C, F®A, G®F, D®G. Переписываем их в соответствии с формулами чисто условного и условно-категорического умозаключений, т.е. так, чтобы второй член предыдущей посылки совпадал с первым членом последующей посылки, последней же поставим посылку, которая у Джона шла первой: E®C, C®D, D®G, G®F, F®A, B. Строим недостающую посылку B®E (Если закончилась война в Южной Африке, то солдаты возвращаются домой). Получаем умозаключение:

B®E,E®C, C®D,D®G, G®F, F®A, B .

A

Особенностью этого умозаключения является то, что он построен на комбинации чисто условного и утверждающего модуса условно-категорического умозаключений.

Нет, Джон не мог это украсть! Обозначения: Джон совершил эту кражу - A, кража должна быть тщательно подготовлена - B, в краже участвовал еще один человек - C, украдено на очень значительную сумму - D. Строим умозаключение в символической форме:

A®B, B®(C®D), … .

ùA

Можно заметить, что посылки позволяют построить чисто условное умозаключение, которое дает заключение A®(C®D). Ставим его вместо посылок в исходное умозаключение:

A®(C®D), … .

ùA

Посылка - импликативное высказывание, заключение - отрицание ее первого члена, это признаки отрицающего модуса условно-категорического умозаключения, в котором вторая посылка - отрицание второго члена первой посылки. Эту посылку мы и вставляем в качестве недостающей:

A®(C®D), ù(C®D) .

ùA

Преобразуем формулу ù(C®D) в ù(ùCÚD) на основе тождества 1, а затем в C·ùD на основе тождества 4. Полученное выражение содержательно означает «В краже участвовал еще один человек» и «Украдено на незначительную сумму». Этих двух положений и не хватает в рассуждении инспектора полиции.

Если Джон автор… Обозначения: Джон автор слуха - А, Джон глуп - В, Джон беспринципен - С. Строим умозаключение в символической форме:

А®В·С, … .

ùА

Первая посылка импликативное высказывание, заключение - отрицание ее первого члена, перед нами отрицающий модус условно-категорического умозаключения. Поэтому второй посылкой должно быть отрицание второго члена первой посылки, т.е. ù(ВС). Опираясь на правило де Моргана, преобразуем это выражение в ùВÚùС. Итак, не-

достающей посылкой является дизъюнктивное высказывание «Джон либо не глуп, либо не является беспринципным».

Если повалит снег… Обозначения: повалит снег - A, машину будет трудно вести - B, можно опоздать на работу - C, выехать пораньше - D. Записываем умозаключение в символической форме:

A®B, B® ( ùD®C), A, … .

D

Первые две посылки дают чисто условное умозаключение с заключением A®(ùD®C). Вместе с посылкой A получаем утверждающий модус условно-категорического умозаключения с заключением ùD®C. Ставим его вместо прежних посылок:

ùD®C, … .

D

Заключение является отрицанием первого члена импликативной посылки, перед нами отрицающий модус условно-категорического умозаключения. Недостающей посылкой является отрицание второго члена импликативной посылки, т.е. ùC, что означает «Я не должен опоздать на работу».

Если бы он ей не сказал… Обозначения: он ей не сказал - А, она бы не узнала - В, она его не спросила - С. Записываем умозаключение в символической форме:

А®В, С ®А, … .

ùС

Поменяв местами посылки, получаем чисто условное умозаключение с заключением С®В. Заменяем им посылки и переходим к умозаключению:

С®В, … .

ùС

Заключение является отрицанием первого члена импликативной посылки, значит, перед нами отрицающий модус условно-категорического умозаключения. Недостающей посылкой является отрицание второго члена импликативной посылки, т.е. ùB, которая содержательно означает «Она узнала».

 

[1] Тавтология – греческое слово, означает буквально – то же самое слово.

[2] Август де Морган (1806-1871) - шотландский математик и логик, который первый сформулировал эти два тождества.

[3] Сюжеты задач заимствованы из различных источников.

[4] От греч. λη̃μμα (лемма), букв. переводится как польза, но в логике означает предположение.

[5] Категорическое - в смысле без всяких «если…, то», «или» и т.п.

[6] Строго говоря, отрицанием высказывания «В лес не ходить» будет высказывание «Неверно, что в лес не ходить», но мы приравниваем его к высказыванию «В лес ходить».

[7] Это уточнение - изюминка задачи, на которую надо догадаться обратить внимание.

[8] Преобразуем умозаключение в сложное высказывание и путем тождественных преобразований проверим, равно ли оно единице, т.е. истине. Для простоты примем, что импликативных посылок всего две.

(A®B)(C®D)(AÚC)®(BÚD) º¹

º (ùAÚB)(ùCÚD)(AÚC)®(BÚD)º¹²(ùAùCÚBùCÚùADÚBD)(AÚC)®(BÚD) º¹²

º (ùAùCAÚBùCAÚùADAÚBDAÚùAùCCÚBùCCÚùADCÚBDC)®(BÚD) º^19,21

º (BùCAÚBDAÚùADCÚBDC)®(BÚD) º¹ ù(BùCAÚBDAÚùADCÚBDC)Ú(BÚD) º⁴

º (ùBÚùùCÚùA)(ùBÚùDÚùA)(ùùAÚùDÚùC)(ùBÚùDÚùC)Ú(BÚD) º¹² (ùBùBÚùùCùBÚùAùBÚ ùBùDÚùùCùDÚùAùDÚùBùAÚùùCùAÚùAùA)(ùùAùBÚùDùBÚùCùBÚùùAùDÚùDùDÚùCùDÚùùAùCÚùDùCÚùCùC)Ú(BÚD) º¹⁵ (ùBÚùùCùBÚùAùBÚùBùDÚùùCùDÚùAùDÚùBùAÚùùCùAÚùA)(ùùAùBÚùDùBÚ ÚùCùBÚùùAùDÚùDÚùCùDÚùùAùCÚùDùCÚùC)Ú(BÚD) º^8,12 ºùBùùAùBÚùùCùDùùAùBÚùAùùAùBÚùBùDÚùùCùDùDÚùAùDÚùBùCÚùùCùDùCÚùAùCÚBÚD º º^15,19,21 ùBùùAÚùùCùDùùAùBÚùBùDÚùùCùDÚùAùDÚùBùCÚùAùCÚBÚD º¹³ ºùBAÚCùDAùBÚùBùDÚCùDÚùAùDÚùBùCÚùAùCÚBÚD º¹¹ ùBAÚCùDAùBÚ(ùBÚB)(ùDÚB)ÚCùDÚùAùDÚùBùCÚùAùCÚD º^18,22 ùBAÚÚCùDAùBÚùDÚBÚCùDÚùAùDÚùBùCÚùAùCÚD º⁷ ùBAÚBÚCùDÚùAùDÚùBùCÚùAùCÚùDÚD º¹⁸ ùBAÚBÚCùDÚùAùDÚùBùCÚùAùCÚ1 º²⁰ 1.

Итак, исходная формула равна истине, т.е. является тавтологией. Сложная конструктивная лемма является правильно построенным умозаключением.