Случай несвязных выборок

Параметрический критерий сдвигов и различий t -критерий Стьюдента

 

Критерий носит название параметрический, потому что в формулу его расчета включаются такие параметры выборки, как среднее, дисперсия, мода и медиана.

Критерий Стьюдента направлен на оценку различий вели­чин средних  и  двух выборок - х и у, которые распределены по нормальному закону. (необходимо проверить нормальность распределения, т.е. посчитать моду, медиану и среднее арифметическое, они должны быть приблизительно равны друг другу). Одним из главных достоинств критерия является широта его применения. Он может быть использован для сопоставления средних у связных и несвязных выборок, при­чем выборки могут быть не равны по величине.

 

Ограничения t -критерия Стьюдента :

1 Измерение может быть проведено в шкале интервалов и отно­шений

2 Сравниваемые выборки должны быть распределены по нор­мальному закону

 

 

Случай несвязных выборок

 

Когда необходимо установить различия между выборками (аналог Q - критерия Розенбаума и U – критерия Манна-Уитни), только с более высокой степенью вероятности.

 

В общем случае формула для расчета по t-критерию Стьюден­та такова

  

(1)

Где

 

 и  - среднее арифметическое;

 

 

 

              Рассмотрим сначала равночисленные выборки, когда n1 = n2 = n. В этом случае :

 

В случае неравночисленных выборок n1 ≠ n2

 

(2)

В обоих случаях подсчет числа степеней свободы осуществля­ется по формуле

 

где n1 и n2 соответственно величины первой и второй выборок. Понятно, что при численном равенстве выборок к = 2 n – 2. Рассмотрим пример использования t-критерия Стьюдента

для несвязных и неравных по численности выборок

 

Задача1. Психолог измерял время сложной сенсомоторной реакции выбора (в мс) в контрольной и эк­спериментальной группах. В экспериментальную группу ( X ) входили 9 спортсменов высокой ква­лификации. Контрольной группой (У) являлись 8 человек, активно не занимающиеся спортом. Психолог проверяет гипотезу о том, что средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора у спортсменов выше, чем эта же величина у людей, не занимающихся спортом.

Решение. Результаты эксперимента представим в виде таб­лицы, в которой произведем ряд необходи­мых расчетов

 

№	Группы		Отклонения от среднего		Квадраты отклонений
	X	У
1	504	580	-22	- 58	484	3368
2	560	692	34	54	1156	2916
3	420	700	- 106	62	11236	3844
4	600	621	74	- 17	5476	289
5	580	640	54	- 2	2916	4
6	530	561	4	-77	16	5929
7	490	680	-36	42	1296	1764
8	580	630	54	- 8	2916	64
9	470	-	-56	-	3136	-
Сумма	4734	5104	0	0	28632	18174
Среднее	526	638

 

 

 рассчитывается как 1 элемент в строке Х (504) минус среднее арифметическое по шкале Х т.е. 526 получаем -22, далее второе значение Х      560 - 526 = 34 и так далее. По шкале У действуем аналогично. 580-638=-58;    692-638=54 и т.д.

Подсчет выражения (2) дает.

 

 

Тогда значение t эмп  вычисляемое по формуле (1) таково:

Число степеней свободы к = 9 + 8-2 = 15 По таблице Приложения для данного числа степеней свободы находим

 

 

 

Сформулируем статистические гипотезы:

Но - средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора в группе спортсменов не отличается от группы люден активно не занимающихся спортом.

Н1 - средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора в группе спортсменов существенно отличается от группы люден активно не занимающихся спортом.

 

Строим ось значимости

 

 

Таким образом обнаруженные психологом различия между экспериментальной и контрольной группами значимы более чем на 0 1% уровне или иначе говоря средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора в группе спортсменов существенно выше чем в группе люден активно не занимающихся спортом.

В терминах статистических гипотез это утверждение звучит так гипотеза Н0 о сходстве отклоняется и на 0 1% уровне значимости принимается альтернативная гипотеза Н1 — о различии между экспериментальной и контрольными группами

Случай связных выборок

Применяется, когда необходимо установить достоверность сдвигов в зависимой выборке (аналог T - критерия Вилкоксона и G – критерия знаков), только с более высокой степенью вероятности.

 

В случае связанных выборок с равным числом измерении в каждой можно использовать более простую формулу t -критерия Стьюдента

Вычисление значения t осуществляется по формуле:

(3)

(4)

где — разности между соответствующими значениями переменной X и переменной У, а d - среднее этих разностей;

Sd вычисляется по следующей формуле:

(5)

Число степеней свободы k определяется по формуле k=n-1. Рассмотрим пример использования t-критерия Стьюдента для связных и, очевидно, равных по численности выборок.

Если t_эмп<t_крит, то нулевая гипотеза принимается, в противном случае принимается альтернативная.

 

 

 

Вначале произведем расчет по формуле (4)

 

 

Затем применим формулу (5), получим

 

И, наконец, следует применить формулу (3) Получим

 

Число степеней свободы к = 8-1=7ипо таблице При­ложения находим

 

 

Сформулируем статистические гипотезы:

Но - сдвиг в сторону уменьшения среднего времени решения третьей задачи по сравнению с первой не достоверен.

Н1 - сдвиг в сторону уменьшения среднего времени решения третьей задачи по сравнению с первой существенно достоверен.

 

Строим «ось значимости»

 

 

Таким образом, на 5% уровне значимости первоначальное предположение подтвердилось, действительно, среднее вре­мя решения третьей задачи существенно меньше среднего времени решения первой задачи В терминах статистических гипотез полученный результат будет звучать так на 5% уров­не гипотеза Но отклоняется и принимается гипотеза Н1.