Исследовать на монотонность.

Типовые задачи по матанализу

Исследовать на наибольшее и наименьшее значение по заданному отрезку.

Решение:

Рассмотрим фун-ю у=…. и исследуем ее на промеж при хэ[..;..] на наиб, наимень значения.

1)Д(у)=…

2)Найдем производ фун-и у’=…

3)Д(у’)=….

4)Найдем критич точки у’=0, ……=0

х1=…;х2=…-критич точки т.к. эти точки яв-ся внутр точками области опред-я, в которых произв равна нулю. Эти точки принадлежат (или нет) нашему промеж […;…].

х1э[…;…]; x2э[…;…].

Найдем значения в кртич точках и на концах отрезка: f(…)=…;f(x1)=…;f(x2)=…;f(…)=…

Наиболь знач фун-я принимает при х=…,а наимень при х=…

Max[…;…] f(x)=……;min[...;…] f(x)=….

Ответ: наиб знач фун-я принимает при х=..,а наимень при х=…

Найти область определения фун-и.

Решение:

Рассмотрим фун-ю f(x)=…

1)Д (f) (т.к. многочлен)

2)Найдем нули функции: f(x)=0, …..=0

х1=…;х2=…-эти точки разбив числовую прямую на промеж в каждом из которых фун-я сохран свой знак в силу непрерывности.

   +    х1               -              х2      +

На промеж (-беск;х1):f(x)=…>0 и т.д.

Т.к. функция приним все знач больше или равно нулю,то Д(f)=(-беск;х1)$(x2;+беск).

Ответ: Д(f)=(-беск;х1)$(x2;+беск).

Исследовать на монотонность.

Решение:

Рассмотрим фун-ю f(x)=…

1)Д (f)=…..

2)Находим производ f’(x)=….

3)Приравниваем произв к нулю находим критич точки: f’(x)=0, ……=0

х1=…;х2=…-критич точки т.к. эти точки яв-ся внутр точками области опред-я, в которых произв равна нулю.

Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки в каждом из которых производная сохр свой знак в силу непрерывности.

+ x1      -      x2 +              

На промеж (-беск;х1):f(x)=…>0 и т.д.

4)Т.к. в точках x1=.., x2=..фун-я определена, то она возростает на промежетке (-беск; x1]$           [x2;+беск)и убывает на промеж [x1 ;х2].

Ответ: возростает на промежетке (-беск; x1]$           [x2;+беск) и убывает на промеж [x1 ;х2].

Исследовать на экстремум.

Решение:

Рассмотрим фун-ю f(x)=…

1)Д (f)=…..

2)Находим производ f’(x)=….

3)Приравниваем произв к нулю находим критич точки: f’(x)=0, ……=0

х1=…;х2=…-критич точки т.к. эти точки яв-ся внутр точками области опред-я, в которых произв равна нулю.

Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки в каждом из которых производная сохр свой знак в силу непрерывности.

- x1      +     x2 -             

На промеж (-беск;х1):f(x)=…>0 и т.д.

4)В точке х1=…производ сменила знак с минуса на плюс,значит эта точка минимума. В точке х2=…производная сменила знак с плюса на минус, значит эта точка максимума.

Хmin=х1,Уmin(х1)=…; Хmax=х2,Уmax(х2)=…

Ответ: Хmin=х1,Уmin(х1)=…-минимум фун-и; Хmax=х2,Уmax(х2)=…-максимум фун-и.

Исследовать фун-ю и построить график.

Решение:

Рассмотрим фун-ю f(x)=…

1)Д (f)=…..

2) f(x)-нечетная (четная, ни нечетная), так как                                                                f(-x)=…=-f(x)

3)Точки пересечения с осями.ОУ:х=0,у=…(х;у)

ОХ: у=0,х=…(х;у)

4)Находим производ f’(x)=….

5)Приравниваем производ к нулю и

находим критич точки: f’(x)=0, ……=0

х1=…;х2=…-критич точки т.к. эти точки яв-ся внутр точками области опред-я, в которых произв равна нулю.

Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки в каждом из которых производная сохр свой знак в силу непрерывности.

Х (-беск;x1) x1 (х1;х2) x2 (x2;+беск)

f”(x)   -      0  +   0      -

f(x)                 …         …

                      min        max                       

f(x1)=…; f(x2)=….

На промеж (-беск;х1):f(x)=…<0 и т.д.

6) В точке х1=…производ сменила знак с минуса на плюс, значит эта точка минимума. В точке х2=…производная сменила знак с плюса на минус, значит эта точка максимума.

7) Т.к. в точках x1=.., x2=..фун-я определена, то она возростает на промежетке (x1;x2) и убывает на промеж (-беск;х1)$(x2;+беск).

СТРОИШЬ ГРАФИК

Ответ: все полученные значения.