Критерий Коши сходимости последовательности

Числовая последовательность и её предел. Теорема Бернулли об ограниченной

Последовательности

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому, число a {\displaystyle a} называется пределом последовательности { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} , если для любого ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} существует номер N ε {\displaystyle N_{\varepsilon }} , зависящий от ε {\displaystyle \varepsilon } , такой, что для любого n > N ε {\displaystyle n>N_{\varepsilon }} выполняется неравенство | x n − a | < ε {\displaystyle \ |x_{n}-a|<\varepsilon }

Число a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } называется пределом числовой последовательности { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} , если последовательность { x n − a } {\displaystyle \{x_{n}-a\}} является бесконечно малой, то есть все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

lim n → ∞ x n = a ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N ( ε ) ∈ N : n ⩾ N ⇒ | x n − a | < ε {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a~\Leftrightarrow ~\forall \varepsilon >0~\exists N(\varepsilon )\in \mathbb {N} \colon ~n\geqslant N~\Rightarrow |x_{n}-a|<\varepsilon } Если число a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } является пределом числовой последовательности { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} , то говорят также, что последовательность { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} сходится к a {\displaystyle a} . Если никакое вещественное число не является пределом последовательности { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} , её называют расходящейся.

Для некоторых последовательностей предел полагают равным бесконечности. А именно, говорят, что последовательность { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} стремится к бесконечности, если для любого вещественного числа все члены последовательности, начиная с некоторого, оказываются по модулю больше этого числа. Формально,

lim n → ∞ x n = ∞ ⇔ ∀ E > 0 ∃ N ( E ) ∈ N : ∀ n ⩾ N ⇒ | x n | > E {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty ~\Leftrightarrow ~\forall E>0~\exists N(E)\in \mathbb {N} \colon ~\forall n\geqslant N\Rightarrow |x_{n}|>E} Кроме того, если все элементы стремящейся к бесконечности последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.

lim n → ∞ x n = + ∞ ⇔ ∀ E > 0 ∃ N ( E ) ∈ N : ∀ n ⩾ N ⇒ x n > E {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=+\infty ~\Leftrightarrow ~\forall E>0~\exists N(E)\in \mathbb {N} \colon ~\forall n\geqslant N\Rightarrow x_{n}>E} Если же элементы стремящейся к бесконечности последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.

lim n → ∞ x n = − ∞ ⇔ ∀ E > 0 ∃ N ( E ) ∈ N : ∀ n ⩾ N ⇒ x n < − E {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty ~\Leftrightarrow ~\forall E>0~\exists N(E)\in \mathbb {N} \colon ~\forall n\geqslant N\Rightarrow x_{n}<-E} Любая последовательность, стремящаяся к бесконечности — неограниченная. Однако обратное неверно.

Теорема Бернулли. Если в каждом из n независимых испытаний вероятность p появления события A постоянна, то при достаточно большом числе испытаний отклонение относительной частоты от вероятности p будет сколь угодно малым

Признак Больцано-Коши сходимости (критерий Коши сходимости последовательности).

оследовательность {x_n} удовлетворяет условию Коши, если для любого положительного действительного числа ε > 0 существует такое натуральное число N_ε, что
(1) |x_n – x_m| < ε при n > N_ε , m > N_ε.

Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, также называют фундаментальными последовательностями.

Условие Коши можно представить и в другом виде. Пусть m > n. Если m < n, то поменяем n и m местами. Случай нас не интересует, поскольку при этом неравенство (1) выполняется автоматически. Имеем :;Здесь p – натуральное число.

Тогда условие Коши можно сформулировать так: Последовательность удовлетворяет условию Коши, если для любого существует такое натуральное число , что
(2) при и любых натуральных p. Число , фигурирующее в условии Коши, зависит от ε. То есть оно является функцией от действительной переменной ε, областью значений которой является множество натуральных чисел. Число также можно записать в виде , как это принято для обозначения функций.

Критерий Коши сходимости последовательности

Критерий Коши сходимости последовательности

Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.