Теорема Больцано-Вейерштрасса о подпоследовательности.

Теорема Больцано – Вейерштрасса

Из любой ограниченной последовательности действительных чисел можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к конечному числу. А из любой неограниченной последовательности – бесконечно большую подпоследовательность, сходящуюся к или к   .

Теорему Больцано – Вейерштрасса можно сформулировать и так.

Из любой последовательности действительных чисел можно выделить подпоследовательность, сходящуюся или к конечному числу, или к или к  .

4 Теорема о пределах композиций пределов (сумма, разность, умножение, деление)

Первый замечательный предел и его следствия.

6 Второй замечательный предел и его следствия.

Предел функции и непрерывность. Теорема о непрерывности композиций (сумма,

Разность, произведение, деление).

Теорема о непрерывности суперпозиции функций и её следствия (перестановка предела и непрерывной функции).

Т: Пусть функция φ(y) определима в промежутке y, а ф-ция f(x) – в промежутке x, причем значение последовательности функции не выходит за пределы Y, когда x изменяется в Х.

Если f(x) непрерывна в точке x₀ и x, а φ(y) непрерывна в соотв. точках y₀=f(x) и y, то и сложная функция φ(f(x)) будет непрерывна в точке x₀.

Док-во: ξ>0, так как φ(y) непрерывна при y=y₀, то по ξ найдется такое Δ>0, что из |x-x₀|<Δ следует |φ(y)-φ(y₀)|<ξ

С другой стороны ввиду непрерывности f(x) при x=x₀ по Δ найдется такое Δ>0, что из |x-x₀|<Δ след. |f(x)-f(x₀)|=|f(x)-y₀|<Δ => |φ(f(x))-φ(y₀)|=|φ(f(x))-φ(f(x₀))|≤Δ след. φ(f(x)) непрерывная в точке x₀.

 

Точки разрыва функции и их классификация. Примеры.

10 Первый и второй замечательный предел для функций. Сведение пределов (1+а(х))^b(x) к второму замечательному пределу.

Производная функции. Арифметические операции и производная.

Теорема о дифференцировании сложной функции.

Теорема о производной обратной функции.

Теорема Ферма о непрерывных функциях.

Теорема Ролля.

Теорема Лагранжа о конечных приращениях.

Теорема Коши.

18Правило Лопиталя.

19 Условия постоянства и монотонности функций. 20Необходимое условие экстремума функции.

Достаточное условие экстремума функции.

Необходимое и достаточное условие наличия локального перегиба.

23 ­Формула Тейлора

24 Алгоритм исследования функции с помощью производных

25 Непрерывность функции многих переменных. Теоремы Больцано-Коши.

26 Непрерывность функции многих переменных. Теоремы Вейерштрасса.

Частные производные функции многих переменных. Необходимое условие