Пример расчёта неразветвленной цепи из трех приемников.

Калининград 2018 г.

Введение

 

Учебным планом дисциплины «Теоретические основы электротехники» предусмотрено выполнение 2х контрольных работ.

Контрольные работы служат для закрепления теоретического материала путем выполнения практических заданий по основным разделам курса. Выполнение контрольных работ следует начинать после глубокого изучения сущности электрических и магнитных явлений, приобретения умений и навыков в расчете электрических цепей постоянного и переменного тока, с использованием соответствующих разделов физики и математики.

Выполнению контрольных работ предшествует разбор и последующее решение электротехнических задач, начиная с решенных задач, и затем переходя к самостоятельному решению сначала простых, а затем и более сложных задач. Это является итогом самостоятельной работы над отдельными разделами курса.

Данные методические указания включают задания на решение задач по расчету линейных цепей переменного тока, исследование режимов работы потребителей электрической энергии при различных схемах включения, построению векторных диаграмм, анализу явления резонанса.

При выполнении контрольных работ курсанты должны указать номер варианта, полностью записать текст задания и исходные данные. Титульный лист и текст выполненной работы, схемы, векторные диаграммы и графики нужно выполнять в соответствии с требованиями ГОСТ и ЕСКД. Расчеты выполняются в общем виде с использованием принятых обозначений и формул, а числовые значения подставлять на заключительном этапе, единицы измерения физических величин указываются только в окончательном результате вычислений. Расчёты необходимо выполнять с точностью до третьего знака.

В заключении приводятся необходимые выводы и список использованной литературы.

 

Контрольная работа №1

 

Выполнить расчет однофазной электрической цепи с последовательным соединением приемников электрической энергии.

Исходные данные

Три приёмника электрической энергии включены последовательно к источнику переменного напряжения. Численные значения комплексных сопротивление приемников Z 1, Z 3 и Z 3 выбрать из таблицы №1 в соответствии с заданным преподавателем вариантом. Там же указано значение напряжения на зажимах цепи U и частота F.

Определить полное сопротивление цепи Z, ее активные R реактивные X составляющие, ток I, напряжения на участках цепи, угол сдвига фаз. Необходимо также рассчитать активную P, реактивную Q и полную мощности S на каждой нагрузке и всей цепи.

Вычислить по значению реактивных сопротивлений значения индуктивности и ёмкости участков. Определить при какой частоте питающего напряжения наступит резонанс напряжений для данной цепи.

Построить топографическую векторную диаграмму цепи с указанием всех напряжений и угла сдвига фаз. Изобразить треугольник сопротивлений и треугольник мощностей. Привести вид резонансной кривой тока при изменении частоты питающего напряжения и указать на ней частоту резонанса.

Таблица 1.

№ варианта	Z1 Ом	Z2 Ом	Z3 Ом	U В	f Гц
1	64+j25	96-j45	-j25	280	50
2	14+j9	j15	32-j16	325	50
3	50+j35	45-j84	-j75	165	50
4	12+j9	4-j15	j8	85	50
5	23+j46	j55	13-j34	565	50
6	16+j43	27-j13	-j70	150	50
7	32-j20	9+j16	45	200	50
8	44-j32	18+j40	j24	220	50
1	Z1 Ом	Z2 Ом	Z3 Ом	U В	f Гц
1	64+j25	96-j45	-j25	280	50

 

Пример расчёта неразветвленной цепи из трех приемников.

 

В задании на контрольную работу сопротивления заданы в комплексной форме вида Z = R + jX. Выполним пример расчета для следующих значений:

Z₁ = 2 - j3 Ом, Z₂ = 14 - j12 Ом, Z₃ = 0 + j18 Ом.

 

 Расчёт цепи удобно выполнить с помощью векторных диаграмм. Для этого определяем соответствующие заданным комплексам активные и реактивные сопротивления: R₁ = 2 Ом, X_C1 = 3 Ом, R₂ = 14 Ом, X_C2 = 12 Ом, X_L3 = 18 Ом.

Из заданных приёмников составляем неразветвленную цепь (рис 1.1).

Определяем активные и реактивные сопротивления всей цепи:

R = R1 + R2 = 2 + 14 = 16 Ом;

X = – X_C1 – X_C2 + X_L3 = – 3 – 12 + 18 = 3 Ом.

Полное сопротивление всей цепи тогда определяем из выражения:

Z =  =  = 16,3 Ом.

Ток в цепи будет общим для всех приёмников и определится по закону Ома:

I = U / Z = 65 / 16,3 = 3,99 A.

Угол сдвига фаз между напряжением и током определяется по синусу

 Sin j = X / Zили тангенсу Tg j = X / R,

так как эти функции являются нечётными и определяют знак угла “плюс” или “минус”. Положительный знак угла указывает на активно-индуктивный (или чисто индуктивный) характер нагрузки, а отрицательный знак угла указывает на активно-ёмкостный (или чисто ёмкостный) характер. Таким образом, угол сдвига фаз между напряжением и током определим по синусу

Sin j = X / Z = 3 / 16 = 0,184;     j = 10,6°;   Cos j = 0,983.

       Напряжения на участках цепи определяем также из формулы закона Ома:

                               U_R1 = I * R₁ = 3,99 * 2 = 7,98 B;

                               U_C1 = I * X_C1 = 3,99 * 3 = 12 B;

                               U_R2 = I * R₂ = 3,99 * 14 = 55,9 B;

                               U_C2 = I * X_C2 = 3,99 * 12 = 47,9 B;

                               U_L3 = I * X_L3 = 3,99 * 18 = 71,8 B.

Рис.1.1 Электрическая схема цепи.

 

       Определяем активные и реактивные мощности участков цепи:

                               P₁ = I² * R₁ = 3,99² * 2 = 31,8 Вт;

                               P₂ = I² * R₂ = 3,99² * 14 = 223 Вт;

                               Q_C1 = I² * X_C1 = 3,99² * 3 = 47,8 вар;

                               Q_C2 = I² * X_C2 = 3,99² * 12 = 191 вар;

                               Q_L3 = I² * X_L3 = 3,99² * 18 = 287 вар.

       Активная, реактивная и полная мощности всей цепи соответственно будут равны:

                               P = P₁ + P₂ = 31,8 + 223 = 254,8 Вт;

                               Q = – Q_C1 – Q_C2 + Q_L3 = -47,8 – 191 + 287 = 48,2 вар;

                               S =  =  = 259 B*A.

       Полную, активную и реактивную мощности всей цепи можно определить также по другим формулам:

S = U * I = 65 * 3,99 = 259 В*А;

Р = S * Cos j = 259 * 0,983 = 254,8 Вт;

Q = S * Sin j= 259 * 0,184 = 47,9 вар.

Эти два способа определения мощностей могут быть взаимоповерочными и при сходимости результатов указывать на правильность произведённых расчётов.

Определяем ёмкости и индуктивность участков. Угловая частота

ω = 2 πf = 2 * 3,14 * 50 = 314 с –1.

L₃ = X_l3/w = 18/314 = 0,0573 Гн;

C1 = 1/wXc1=1/(314*3)= 0,00106 Ф = 1060 мкФ;

C2 = 1/wXc2=1/(314*12)= 0,000265 Ф = 265 мкФ.

Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами тока и напряжения, которые будут соответственно равны M_I = 0,5 A/см и M_U = 10 B/см.

Построение топографической векторной диаграммы начинаем с вектора тока, который откладываем вдоль положительной горизонтальной оси координат. Векторы напряжений на участках строятся в порядке обтекания их током с учётом того, что векторы напряжений на активных элементах _R1 и _R2 совпадают по фазе с током и проводятся параллельно вектору тока. Вектор напряжения на индуктивности _L3 опережает ток по фазе на угол 90⁰ и поэтому откладывается на чертеже вверх по отношению к току. Векторы напряжений на ёмкостях _C1 и _С2 отстают от тока по фазе на угол 90⁰и откладываются на чертеже вниз по отношению к току.

Рис. 1.2 Топографическая векторная диаграмма.

 Вектор напряжения между зажимами цепи проводится с начала вектора тока в конец вектора _L3. На векторной диаграмме отмечаем треугольник напряжений ОАВ, из которого активная составляющая напряжения

                               U_a = U_R1 + U_R2 = 7,95 + 55,9 = 63,88 B;

и реактивная составляющая напряжения

                          U_p = -U_C1 – U_C2 + U_L3 = -12 – 47,9 + 71,8 = 11,9 B.

       Таким образом, напряжение между зажимами цепи равно

                               U =  =  = 65 B.

       Топографическая векторная диаграмма построена на рис 1.2

 

Треугольник сопротивлений отображает активную, реактивную составляющих полного сопротивления цепи и в выбранном масштабе изображен на рис. 1.3

      

Рис. 1.3 Треугольник сопротивлений.

На рисунке 1.4 показано соотношение активной, реактивной и полной мощности для цепи в целом. Угол сдвига фаз j определяется соотношением активной и полной мощности, а Cos j является важной характеристикой цепи.

Рис. 1.4 Треугольник мощностей.

 

Контрольная работа №2

Выполнить расчет однофазной электрической цепи с параллельным соединением приемников электрической энергии.

Исходные данные

Три приёмника электрической энергии включены последовательно к источнику переменного напряжения. Численные значения комплексных сопротивление приемников Z 1, Z 3 и Z 3; напряжения на зажимах цепи U и частотУ F выбрать из таблицы №2 в соответствии с заданным преподавателем вариантом. Там же указано значение.

Определить полное сопротивление цепи Z, ее активные R реактивные X составляющие, токи в ветвях цепи в неразветвленной части цепи I, угол сдвига фаз. Необходимо также рассчитать активную P, реактивную Q и полную мощности S на каждой нагрузке и всей цепи.

Вычислить по значению реактивных сопротивлений значения индуктивности и ёмкости участков. Построить топографическую векторную диаграмму цепи с указанием всех токов и угла сдвига фаз. Изобразить треугольник проводимостей и треугольник мощностей. Привести вид резонансной кривой тока при изменении частоты питающего напряжения и указать на ней частоту резонанса.

 

Присоединить приёмники параллельно к источнику с напряжениемU =… В. Определить токи в ветвях и в неразветвленной части цепи, углы сдвига фаз в ветвях и во всей цепи, мощности ветвей и всей цепи. Построить векторную диаграмму цепи.

Таблица 1.

№ варианта	Z1 Ом	Z2 Ом	Z3 Ом	U В	f Гц
1	2+j6	4-j7	-j15	70	50
2	-j18	23+j14	12-j62	150	50
3	12-j4	-j14	8+j15	200	50
4	2+j6	4-j7	-j15	70	50
5	j18	23-j14	35	150	50
6	12-j4	-j14	8+j15	200	50
7	35+j25	60-j56	-j78	355	50
8	15+j10	j6	34-j21	135	50
9	45+j45	12-j65	-j23	600	50
10	32+j24	-j55	10-j34	565	50