Описание метода Брандона

Статистические модели создают на основании имеющихся экспериментальных данных, снятых на действующем объекте. Задачу формулируют следующим образом: по данной выборке объемом n (т.е. по заданному числу опытов) построить модель и оценить адекватность ее реальному объекту.

В общем случае современный технологический процесс представляется в виде многомерного объекта. На объект действуют вектор входных параметров Х, составляющие которого {х₁,х₂,…,х_l}, и вектор управления Z, составляющие которого {z_1,z_2,…z_k}. Выходные параметры {y₁,y₂,…,y_p} составляют вектор выходных параметров Y. Общий вид статистической модели многомерного технологического объекта можно записать в виде системы алгебраических уравнений или в векторной форме:

y_{1 =} F₁{x₁,x₂,…x_m}

y_{2 =} F₂{x₁,x₂,…x_m}

……………………

y_{p =} F_p{x₁,x₂,…x_m}

Y=F(X), где X,Y – векторы входных и выходных параметров объекта.

В данной курсовой работе для построения модели многомерного технологического объекта используется метод Брандона.

Сущность метода заключается в следующем. Предполагается, что функция F₁{x_1,x₂,…,x_m} в предыдущей системе является произведением функций от входных параметров, то есть

ŷ = yf₁(x₁)f₂(x₂)…f_m(x_m)

или в более удобной форме:

ŷ = yПf_k(x_k)

где ŷ – расчетное значение i-го выходного параметра; y = Σ(y_0i/n) – средняя величина экспериментальных значений i-го выходного параметра; n – количество опытов в исходной выборке.

При использовании метода Брандона большое значение имеет порядок следования функций в уравнении. Чем больше влияние оказывает фактор на выходной параметр, тем меньшим должен быть его порядковый номер в указанном уравнении.

Оценить степень влияния к-го фактора на выходной параметр можно по величине частного коэффициента множественной корреляции:

где rxy/x₁,x₂,…,x_m - величина частного коэффициента корреляции, учитывающая влияние К-го фактора на выходной параметр у при условии, что влияние всех прочих факторов исключено; D – определитель матрицы, построенной из парных коэффициентов корреляции.

Матрица имеет вид:

 , k=1,2,3.

D_m+1,m+1 – определитель матрицы с вычеркнутыми m+1-ой строкой и m+1-м столбцом;

D_m+1,k – определитель матрицы с вычеркнутыми m+1-ой строкой и k-м столбцом;

D_k,k – определитель матрицы с вычеркнутыми k-ой строкой и k-м столбцом;

 r_xy – парные коэффициенты корреляции определяемые по формуле:

Коэффициенты корреляции по абсолютной величине не превышает единицы. (-1 ≤ r_xy ≤ 1).

Чем ближе абсолютное значение коэффициента | r_xy | к единице, тем сильнее линейная связь между величинами. Следует отметить, что коэффициент корреляции одинаково отмечает долю случайности и криволинейность связи между х и у. Зависимость х и у может быть близкой к функциональной, но существенно не линейной; коэффициент корреляции при этом будет значительно меньше единицы.

Объективное определение тесноты связи может быть проведено в результате совместного анализа качественной и количественной оценок.

Порядок расположения влияющих факторов определяют в соответствии с убыванием величины частных коэффициентов корреляции. Следует иметь в виду, что коэффициент корреляции – чисто статистический показатель и не содержит предположения, что изучаемые величины находятся в причинно-следственной связи.

Прежде чем определять вид первой зависимости, следует представить исходные экспериментальные значения выходного параметра в каждом опыте y_эj в безразмерной форме y_э0j

где у – средняя величина выходного параметра.

Таким образом, исходными данными для поиска первой зависимости будут нормированные значения вектора выходных параметров ỹ₀ и опытные значения первого влияющего фактора. Выбрав зависимость ỹ = f₁(x₁) с помощью метода наименьших квадратов, определяют остаточный показатель Yэ для каждого наблюдения.

Предполагая, что у_э1 не зависит от х₁, а зависит от х_2,…_,х_m, выбирают зависимость от второго фактора. Получив расчетную зависимость находят остаточный показатель у_э2 для каждого наблюдения:

    Выполнив аналогичные действия для каждого К-го влияющего фактора получают регрессионную зависимость для рассмотренного выходного параметра. Порядок расположения факторов для этой зависимости определен на этапе ранжирования и отличается от порядка в общем уравнении.

Для оценки точности аппроксимации найденной функции вычисляют корреляционное отношение:

и среднюю относительную ошибку:

   Совокупность зависимостей по каждому выходному параметру представляет собой статистическую модель, многомерно технологического объекта.