Оптимальные линейные САР

 

Задача оптимального синтеза линейной системы авторегулирования при случайных воздействиях заключается в определении такой структуры и параметров системы, при которых ошибки минимальны. Это так называемая задача оптимальной линейной фильтрации. Она была решена Колмогоровым, Винером, Калманом. В постановке Винера и Колмогорова входные процессы задаются их энергетическими спектрами. Для САР входными процессами являются задающее x_з(t) и возмущающее x_в(t) воздействия с энергетическими спектрами S_xз(w) и S_xв(w). Оптимальная частотная характеристика без учета физической реализуемости системы имеет вид:

 

К_опт(j w) = S_xз(w)/[S_xз(w) + S_xв(w)].

 

Объясняется такая форма частотной характеристики просто. В области частот, где S_xв(w) = 0 АЧХ замкнутой системы равна 1, что и требуется для безошибочного слежения. В области частот, занятых спектром возмущающего воздействия, коэффициент передачи должен быть тем меньше, чем больше интенсивность помехи.

Неудобство данного подхода для синтеза САР заключается в том, что определяется только частотная характеристика замкнутой системы, а структура системы неочевидна. В этом отношении удобнее подход Калмана, определяющий структуру оптимальной системы. В отличие от предыдущего подхода, описывающего задающее воздействие энергетическим спектром, в подходе Калмана задающее воздействие образуется пропусканием белого шума через формирующий фильтр, который строится как устройство с обратной связью. Формирующий фильтр описывается векторным дифференциальным уравнением, которое называется уравнением состояния:

 

dX _з (t)/dt = AX _з (t) + Bn(t),

 

где n(t) – белый шум,

X _з (t) – вектор-столбец переменных состояния, которыми обычно являются сам процесс x_з(t) и его производные,

А – матрица системы,

В – матрица управления.

Для формирования задающего воздействия к уравнению состояния добавляется уравнение наблюдения:

 

x_з(t) = CX _з(t),

 

где С – матрица наблюдения, устанавливающая связь процесса x_з(t) с вектором переменных состояния X_з(t).

 

xз(t)  X з(t)  n(t) А С 1/р В

Рис. 9

 

По этим уравнениям построена модель, представленная на рис. 9. Сформированное таким образом задающее воздействие поступает на вход САР вместе с возмущающим воздействием, которое считается белым шумом. Доказано, что оптимальный фильтр Калмана повторяет структуру формирующего фильтра с точностью до матричного коэффициента передачи К(рис. 10).Элементы матрицы К и определяют оптимальность системы.

 

y(t)=xз(t) С А 1/р K  xв(t)  xз(t)

Рис. 10

 

Проиллюстрируем сказанное на примере системы первого порядка. Пусть в качестве формирующего фильтра используется интегрирующая цепь с постоянной времени Т_ф. Ее передаточная функция: К_ф(р) = 1/(1 + рТ_ф). Этой передаточной функции соответствует дифференциальное уравнение в операторной форме:

 

(рТ_ф + 1)x_p(t) = n(t).

 

В обычной форме оно записывается так:

 

.

Отсюда

.

 

Модель, построенная по этому уравнению, изображена на рис. 31

 

 

n(t) 1/Tф 1/Tф 1/p  xз(t)

Рис. 11

 

Оптимальная система представлена на рис. 12.

Оптимальное значение коэффициента передачи:

 

, (13)

 

где r - отношение спектральных плотностей случайных процессов n(t) и x_в(t).

 

1/Tф  y(t)=x(t) 1/p K  xв(t)  xз(t)

Рис. 12

 

Дисперсия ошибки слежения в оптимальной системе:

 

.(14)

 

 

Рассмотрим ошибки в системе, отличающейся от оптимальной. Отличие системы от оптимальной может заключаться как в отличии коэффициента К от оптимального при оптимальной структуре системы, так и в неоптимальности самой структуры.

Отличие коэффициента передачи К от оптимального приведет к увеличению ошибки. Ошибка складывается из динамической ошибки и ошибки по возмущению. Дисперсия динамической ошибки

 

.

 

Спектральная плотность задающего воздействия

 

.

 

Дисперсия задающего воздействия

 

.

 

Выразим спектральную плотность S_n0 процесса n(t) через дисперсию задающего воздействия: S_n0 = 2T_фs²_xз.

Частотная характеристика разомкнутой системы для схемы, изображенной на рис. 32, имеет вид:

 

.

 

И соответственно,

 

.

 

Тогда

 

. (15)

 

К Tф=1  К Tф=5  К Tф=20  S(w)  0,5  0,75  0,25  10 w,рад/с  0,1  1  S  К

Рис. 13

 

Для пояснения причины уменьшения динамической ошибки с ростом коэффициента передачи К обратимся к рис. 13, на котором представлены энергетический спектр процесса x_з(t) (пунктирная линия) и АЧХ замкнутой системы при различных значениях КТ_ф (сплошные линии). Видим, что чем больше КТ_ф, тем меньше отличие коэффициента передачи замкнутой системы от 1 в области частот, занятых спектром задающего воздействия.

Дисперсия ошибки по возмущению вычисляется по формуле:

 

.

 

Так как спектральная плотность возмущающего воздействия в r раз меньше спектральной плотности S_n0, то

 

и

. (16)

 

Дисперсия ошибки по возмущению увеличивается с ростом КТ_ф, так как увеличивается площадь под АЧХ замкнутой системы. Зависимость дисперсии суммарной ошибки s² = s²_дин + s²_воз от КТ_ф показана на рис. 14 для различных значений r. Минимум достигается при оптимальном значении коэффициента передачи. Следует отметить, что оптимум не очень критичен и при двукратном отличии коэффициента передачи от оптимального дисперсия ошибки увеличивается на 15 – 20 %.

 

Рис.

 

Рассмотрим теперь, к какому увеличению дисперсии приведет отличие структуры системы от оптимальной. Допустим, что система первого порядка (рис. 32) осуществляет слежение за процессом x_з(t), образованным из белого шума формирующим фильтром второго порядка с пере-даточной функцией К_ф(р) = =1/(1 + рТ_ф1)². Подберем Т_ф1 так, чтобы площади под |К_ф(jw)½² для однозвенного и двухзвенного фильтров были одинаковыми. Тогда будет соблюдаться равенство дисперсий выходных процессов обоих фильтров при одинаковой спектральной плотности входного белого шума. Это условие выполняется при Т_ф1 = Т_ф/2. На рис. 15 представлены АЧХ фильтров: однозвенного (сплошная линия) и двухзвенного (пунктирная линия). Из-за отличия спектров задающего воздействия изменится динамическая ошибка. Дисперсия динамической ошибки станет равной:

 

.

 

Дисперсия ошибки по возмущению останется прежней, так как частотная характеристика замкнутой системы не изменилась. На рис. 36 показано, во сколько раз увеличивается минимальная дисперсия суммарной ошибки в системе с неоптимальной структурой по сравнению с дисперсией ошибки в оптимальной системе в зависимости от r.

 

0  0,25  0,75  0,5  S  1  0,1  wTф	2,5  2  1,5  1  10  1 r  s2мин/s2опт
Рис. 15	Рис. 16

Дисперсия ошибки в оптимальной системе рассчитана по формуле:

 

.

 

Исследуемая модель, содержащая формирующий фильтр и оптимальную систему, приведена на рис. 17.

 

Рис. 17

 

В верхней части модели расположен формирующий фильтр: одно- и двухзвенный, а в нижней части – оптимальная система для задающего воздействия, сформированного однозвенным фильтром.

 

 

 

Заключение

Формирование систем автоматического регулирования, как правило, выполняют на основе аналитических методов анализа или синтеза. На этом этапе проектирования систем регулирования на основе принятые допущений составляют математическую модель системы и выбирают предварительную ее структуру. В зависимости от типа модели (линейная или нелинейная) выбирают метод расчета для определения параметров, обеспечивающих заданные показатели устойчивости, точности и качества. После этого уточняют математическую модель и с использованием средств математического моделирования определяют динамические процессы в системе. При действии различных входных сигналов снимают частотные характеристики и сравнивают с расчетными. Затем окончательно устанавливают запасы устойчивости системы по фазе и модулю и находят основные показатели качества.

Далее, задавая на модель типовые управляющие воздействия; снимают характеристики точности. На основании математического моделирования составляют технические требования на аппаратуру системы. Из изготовленной аппаратуры собирают регулятор и передают его на полунатурное моделирование, при котором объект регулирования набирают в виде математической модели.

Развитие теории автоматического регулирования на основе уравнений состояния и z-преобразований, принципа максимума и метода динамического программирования совершенствует методику проектирования систем регулирования и позволяет создавать высокоэффективные автоматические системы для самых различных отраслей народного хозяйства. Полученные таким образом системы автоматического регулирования обеспечивают высокое качество выпускаемой продукции, снижают ее себестоимость и увеличивают производительность труда.

 

Список литературы

1. Коновалов Г.Ф. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. М.: Радиотехника, 2003. 288 с.

2. Первачев С.В. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. М.: Радио и связь, 1982. 296 с.

3. Радиоавтоматика: Учебное пособие / Под ред. В.А.Бесекерского. М.: Высшая школа, 1985.271 с.

4. Системы радиоавтоматики и их модели: Учеб. пособие / Ю.Н.Гришаев; Рязан. радиотехн. институт. Рязань, 1977. 46 с.

5. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. М.: Связь, 1972.448 с.

6. Синтез частотных характеристик линейных систем автоматического регулирования: Метод. указания / Рязан. гос. Радиотехн.акад.; Сост. Ю.Н.Гришаев. Рязань, 2000. 12 с.