Устойчивость линейной системы авторегулирования. Общие сведения

Введение

Современная теория автоматического регулирования является основной частью теории управления. Система автоматического регулирования состоит из регулируемого объекта и элементов управления, которые воздействуют на объект при изменении одной или нескольких регулируемых переменных. Под влиянием входных сигналов (управления или возмущения), изменяются регулируемые переменные. Цель же регулирования заключается в формировании таких законов, при которых выходные регулируемые переменные мало отличались бы от требуемых значений. Решение данной задачи во многих случаях осложняется наличием случайных возмущений (помех). При этом необходимо выбирать такой закон регулирования, при котором сигналы управления проходили бы через систему с малыми искажениями, а сигналы шума практически не пропускались.

Теория автоматического регулирования прошла значительный путь своего развития. На начальном этапе были созданы методы анализа устойчивости, качества и точности регулирования непрерывных линейных систем. Затем получили развитие методы анализа дискретных и дискретно-непрерывных систем. Можно отметить, что способы расчета непрерывных систем базируются на частотных методах, а расчета дискретных и дискретно-непрерывных — на методах z-преобразования.

В настоящее время развиваются методы анализа нелинейных систем автоматического регулирования. Нарушение принципа суперпозиции в нелинейных системах, наличие целого ряда чередующихся (в зависимости от воздействия) режимов устойчивого, неустойчивого движений и автоколебаний затрудняют их анализ. Еще с большими трудностями встречается проектировщик при расчете экстремальных и самонастраивающихся систем регулирования.

Устойчивость линейной системы авторегулирования. Общие сведения

Устойчивость системы означает, что она принципиально может выполнять свои функции. Для линейных систем можно пользоваться следующим определением устойчивости: линейная система устойчива, если при ограниченном входном воздействии выходной процесс тоже ограничен.

Прямым методом анализа устойчивости является решение дифференциального уравнения, описывающего систему:

где и  - соответственно выходной и входной процессы в системе.

Устойчивость линейной системы не зависит от вида входного воздействия, и можно взять его любым, в том числе и нулевым, но удобнее принять x(t) = 1(t). В этом случае решением дифференциального уравнения будет переходная характеристика. И по виду ее можно определить устойчивость системы. Если переходная характеристика стремится к постоянному значению, то система устойчива. Если же переходная характеристика уходит в бесконечность, то неустойчива. Из решения дифференциального уравнения следует, что выходной процесс ограничен, если корни характеристического уравнения располагаются в левой полуплоскости.

a_npⁿ + a_{n -1}p^{n -1} +…+ a₀ = 0

При анализе устойчивости систем авторегулирования наиболее часто используется критерий устойчивости Найквиста. Согласно этому критерию замкнутая система устойчива при устойчивой разомкнутой, если годограф частотной характеристики разомкнутой системы не охватывает точки с координатами (-1, 0).Типовой вид годографа частотной характеристики разомкнутой системы, описываемой передаточной функцией

,(3)

К Re Kp(jw) -1 Im

Рис. 1

Годограф начинается на действительной оси, так как на нулевой частоте коэффициент передачи разомкнутой системы является действительной величиной К_р(0) = К. С ростом частоты модуль коэффициента передачи К_р(w) уменьшается и вносится отрицательный фазовый сдвиг j_р(w), поэтому вектор К_р(jw) поворачивается по часовой стрелке. При w = ¥ К_р(w) = 0 и j_р(w) = - 3p¤2. Для устойчивой системы точка ( -1, 0) должна лежать вне фигуры, образованной годографом частотной характеристики и действительной положительной полуосью.

Если в разомкнутую систему входят интеграторы, то годограф частотной характеристики разомкнутой системы начинается в бесконечности. Такие системы называются астатическими. Количество интеграторов равно порядку астатизма. Для системы с одним интегратором, имеющей передаточную функцию годограф начинается в третьем квадранте (рис. 2), а для системы с двумя интеграторами с передаточной функцией

,(4)

 - (5)

во втором квадранте, т.к. уже на нулевой частоте интегратор вносит фазовый сдвиг, равный p¤2.

Kp(jw) Re Im -1	Kp(jw) -1 Re Im
Рис. 2	Рис. 3

Для построения замкнутого контура в этих случаях требуется к годографу добавить столько четвертей окружности бесконечного радиуса, сколько интеграторов в разомкнутой системе. На рис. 2 и рис. 3 это добавление условно показано пунктирной линией. Замкнутая система с годографом К_р(jw), изображенном на рис. 2, устойчива, а на рис. 3 – неустойчива. Причем последняя является структурно-неустойчивой, т.е. неустойчивой при любом коэффициенте передачи разомкнутой системы.

Рис. 4

	К1 Dj Kp(jw) 1 -1 Re Im

По годографу частотной характеристики разомкнутой системы можно оценить степень устойчивости. Для этого вводится понятие запасов устойчивости по усилению и по фазе. Запас устойчивости по усилению DК показывает, во сколько раз нужно изменить коэффициент передачи разомкнутой системы, чтобы замкнутая из устойчивой стала неустойчивой. Запас устойчивости по фазе Dj показывает, какой фазовый сдвиг нужно ввести в разомкнутую систему, чтобы замкнутая из устойчивой стала неустойчивой. На рис. 4 показано, как эти запасы определяются по годографу частотной характеристики разомкнутой системы. Запас устойчивости по усилению DК = =1¤К₁, где К₁ – коэффициент передачи разомкнутой системы на частоте, для которой j_р(w) = -p.Запас устойчивости по фазе равен углу Dj между отрицательной действительной полуосью и линией, соединяющей начало координат с точкой пересечения годографа с окружностью единичного радиуса.

На практике удобнее пользоваться не годографом частотной характеристики, а амплитудно-частотной и фазочастотной характеристиками. И еще более удобно использовать логарифмические АЧХ и ФЧХ, т.е. ЛАХ и ЛФХ. Критерий Найквиста в этом случае формулируется так: замкнутая линейная система устойчива при устойчивой разомкнутой, если в области частот, где ЛАХ разомкнутой системы положительна, ЛФХ разомкнутой системы или не пересекает значения -p, или пересекает его сверху вниз и снизу вверх одинаковое количество раз. При монотонной ЛФХ разомкнутой системы устойчивость можно определить, сравнивая две характерные частоты: частоту среза w_ср, на которой ЛАХ пересекает ось частот, и критическую частоту w_кр, на которой ЛФХ пересекает значение -p. Для устойчивой системы w_кр>w_ср. Запас устойчивости по усилению DL определяется на критической частоте как расстояние от ЛАХ до оси частот, а запас устойчивости по фазе – на частоте среза как расстояние от -p до ЛФХ (рис.5).

w Dj DL Lp(w) jp(w) -p wср wкр L,дБ

Рис. 5

Логарифмические частотные характеристики позволяют легко и наглядно исследовать влияние параметров системы на ее устойчивость. Рассмотрим это на примере системы с передаточной функцией (3).

На рис. 6 изображены ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы для следующих значений постоянных времени: Т₁ = 10^-1 с, Т₂ = 10^-2 с, Т₃ = =10^-3 с и различных значений коэффициента передачи К = 10; 100; 10³. При К = 10 замкнутая система устойчива. Запас устойчивости по фазе: 45 град, по усилению: 20 дБ. При К= 100 система находится на грани устойчивости и при К= 1000 неустойчива.

На рис.7 изображены логарифмические характеристики разомкнутой системы при К = 100, Т₂ = 10^-2 с, Т₃ = 10^-3 с и различных значений Т₁: 1 с; 0,1 с и 0,01 с. Видно, что увеличение постоянной времени Т₁ делает систему устойчивой и чем больше Т_1, тем больше запасы устойчивости. Уменьшение Т₁ приведет к неустойчивости системы. Наиболее неблагоприятной будет ситуация, когда все постоянные времени максимально близки друг к другу, т.е. при Т₁ = (Т₂ + Т₃) ¤ 2. При дальнейшем уменьше- нии Т₁ ЛФХ приподнимается в области частот, близких к частоте среза, и склонность системы к неустойчивости будет уменьшаться. При Т₁ = 0 ЛФХ не будет пересекать значения -p, и система будет устойчивой при любом коэффициенте передачи.

10 w,рад/с L,дБ jp(w) -3p/2 -p -p/2 -60 -40 -20 40 20 103 1 0,1 Кр = 10 Кр = 102 Кр = 103 Lp(w) j,рад	w,рад/с Т1= 0 Т1= 00,1с Т1= 0,1с Т1= 1с -p -3p/2 -60 -40 10 1 0,1 20 40 j,рад L,дБ
Рис. 6	Рис. 7

Схема моделирования показана на рис. 8.

Рис.8

Исследование устойчивости для удобства сравнения проводится на трех моделях, отличающихся структурой или параметрами.