Применение графического способа при решении задач с параметрами.

Пример 11. Решить уравнение х²-4х+2=а.

 Рассмотрим функцию у₁= х²-4х+2, графиком которой является парабола, ветви направлены вверх. Для удобства построения выделим полный квадрат у=(х-2)²-2. Вершиной параболы является точка с координатами (2;-2).

Рассмотрим функцию у₂=а. Графиком этой функции является прямая, параллельная оси ОХ.

 Так как параметр содержится в уравнении прямой, то решение уравнения будет зависеть от расположения данной прямой. Построим графики рассматриваемых функций: у₁= х²-4х+2 и у₂=а.

По графикам построенных функций можно сделать следующий вывод:

при а<-2 уравнение не имеет корней;

при а=-2 уравнение имеет единственный корень, х=2;

при а>-2 уравнение имеет два корня.

При графическом способе решения данного уравнения мы легко определили количество корней в зависимости от значения а. Однако не всегда удается найти их аналитическое значение, как в случае при а>-2.

Найдем значение этих корней аналитическим способом.

Если а>-2, то D > 0.

Находим корни по формуле: х_1,2=

 

                                             х_1,2=2±

Ответ: если а<-2, то уравнение не имеет корней;

        если а=-2, то х=2;

        если а>-2, то х_1,2=2± .

 

 

Пример12 . Найти все значения параметра а, для которых вершины парабол у₁= х²-2(а+1)х+1  и у₂= ах²-х+а лежат по разные стороны от прямой у= .

Решение данной задачи начнем с анализа графической модели.

Рассмотрим функцию у₁= х²-2(а+1)х+1, графиком которой  является парабола, ветви направлены вверх. Графиком функции у₂= ах²-х+а является парабола, направление ветвей которой  будет зависеть от значения параметра а.
Согласно условию задачи схематично можно изобразить четыре возможных варианта:

Найдем координаты вершин парабол:

х_в1=а+1; у_в1=1-(а+1)².

 

х_в2= ; у_в2= 4а2-14а.

Согласно схематичным чертежам записываем четыре системы неравенств:

Рассмотрим более подробно решение первой системы . Преобразование остальных систем аналогично , отличается только знаками:

Рационально далее решить систему методом интервалов:

Система решений не имеет.
Объединяя решения систем получаем ответ:

 

Пример 13. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения х²+х+а=0 действительные, различные и оба больше а.

Рассмотрим функцию у= х²+х+а, графиком которой является парабола. Ветви параболы направлены вверх. Абсцисса вершины параболы х_в=- .
Графическая интерпретация данной задачи:

По условию задачи уравнение имеет два различных действительных корня, которые одновременно больше а, тогда и только тогда, когда:

D>0,fa>0,xв>a;⇒ D>0,fa>0,xв>a;

Ответ: (- ; -2).

 

Пример 14. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения ах²+2(а+3)х+а+2=0 неотрицательны.

Корни уравнения неотрицательны, значит они могут принимать значения больше либо равные нулю, не сказано, что корни различны, следовательно это могут быть два совпавших корня.

 Графическая интерпретация данной задачи:

 

 

Чтобы выполнялось условие задачи, необходимо и достаточно

D≥0,f0≥0,xв>0, a>0. или D≥0,f0≤0,xв>0, a<0.

Решая системы методом интервалов, получаем, что решением первой системы является пустое множество, а решением второй системы - -2,25;-2

Ответ: а -2,25;-2.

 

Пример15. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения ах²-(а+1)х+а+3=0 имеют разные знаки.

Для того, чтобы парабола, являющаяся графиком функции у= ах²-(а+1)х+а+3, пересекала ось абсцисс в точках, между которыми располагается начало координат, необходимо и достаточно, чтобы квадратный трехчлен ах²-(а+1)х+а+3 принимал в точке х = 0 отрицательное или положительное значение, в зависимости от направления ветвей параболы. Графическая интерпретация данной задачи:

Тогда искомое условие задачи имеет вид:

Ответ: а (-3;0).

Пример16.  При каких значениях параметра а, корни уравнения х²-ах+2=0 принадлежат отрезку ?

При требуемом условии расположения корней квадратного трехчлена х²-ах+2 соответствующая парабола располагается следующим образом:

Решение данной задачи определяется условием:

 D≥0,f0≥0; f3≥0,0≤xв≤3;⇔ а2-8≥0,11-3а≥0,0≤а2≤3.

Решаем систему методом интервалов, откуда получаем, что а 22;113 .

Ответ: а 22;113 .

 

 

Заключение.

Таким образом, я рассмотрела часто встречающиеся типы уравнений и системы уравнений с параметрами и сделала следующие выводы:

· при решении многих задач с параметрами удобно воспользоваться геометрическими интерпретациями. Это часто позволяет существенно упростить анализ задач, а в ряде случаев представляет собой единственный «ключ» к решению задачи;

· существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем задачам,  где решение как бы «ветвится» в зависимости от значения параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор ранее полученных результатов.

 

Подготовка реферата позволила мне узнать много нового и интересного, подробно познакомиться с вопросами, которые на уроках изучаются кратко.

Оформление реферата способствовало совершенствованию и закреплению полученных мною на уроках информатики умений и навыков по редактированию и форматированию текстовых документов.

Я могу сказать, что научилась решать уравнения с параметрами, но не хочу останавливаться на достигнутом и в следующем году собираюсь продолжить работу по этой теме и рассмотреть примеры тригонометрических, логарифмических и показательных уравнений с параметрами.

Список литературы.

1. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – М.: Просвещение, 1990.

2. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач.Учеб. пособие для 10 кл. средней школы – М.: Просвещение, 1989.

3. Васильев Ю.С., Витовтов П.Г. и др. Математика. Система дистанционного образования. Часть 1. Учебно-практическое пособие. – Челябинск: 2000.

4. Горнштейн Ш. Квадратные трехчлены и параметры. – Математика. -1999, №5.

5. Мещерякова Г.В. Задачи с параметрами, сводящиеся к квадратным уравнениям. –Математика в школе. №5, 2001.

6. Большой энциклопедический словарь. Математика. – М.: Научное издательство «Большая Российская энциклопедия», 1998.