Расчет прогноза экономического временного ряда

Имеются данные об экспорте железобетонной продукции товаров (в страны вне СНГ), млрд. долларов США.

Таблица 1

Экспорт товаров за 2002, 2003, 2004, 2005 годы (млрд.долларов США)

Экспорт товаров (в страны вне СНГ), млрд.долларов США	Всего за год
2002	48,8
2003	61,0
2004	77,5
2005	103,5

Прежде, чем приступить к анализу, обратимся к графическому изображению исходных данных (рис. 1).

Рис. 1. Экспорт товаров

Как видно из построенного графика, четко прослеживается тенденция к увеличению объемов импорта. Проанализировав полученный график можно сделать вывод о нелинейном развитии процесса, предположив об экспоненциальном или параболическом развитии.

Теперь сделаем графический анализ квартальных данных за четыре года:

 

Таблица 2

Экспорт товаров за кварталы 2002,2003, 2004 и 2005 годов

Экспорт товаров (в страны вне СНГ), млрд.долларов США	Кварталы
	I	II	III	IV
2002	9,8	11,8	12,6	14,6
2003	12,9	14,7	15,5	17,8
2004	16	18	19,8	23,7
2005	21	23,9	26,9	31,7

Рис. 2. Экспорт товаров

Как видно из графика яркое выражение имеет сезонность колебаний. Амплитуда колебания довольно не фиксированная, что указыает на наличие мультипликативной модели.

В исходных данных нам представлен интервальный ряд с равноотстоящими уровнями во времени. Поэтому для определения среднего уровня ряда воспользуемся следующей формулой:

 млрд.долл.

Для количественной оценки динамики явлений применяются следующие основные аналитические показатели:

· абсолютный прирост;

· темпы роста;

· темпы прироста.

Рассчитаем каждый из этих показателей для интервального ряда с равноотстоящими уровнями во времени.

Представим статистические показатели динамики в виде таблицы 3.

Таблица 3

Статистические показатели динамики

t	yt	Абсолютный прирост, млрд.долларов США		Темп роста, %		Темп прироста, %
		Цепной	Базисный	Цепной	Базисный	Цепной	Базисный
1	48,8	-	-	-	-	-	-
2	61,0	12,2	12,2	125	125	25	25
3	77,5	16,5	28,7	127,05	158,81	27,05	58,81
4	103,5	26	54,7	133,55	212,09	33,55	112,09

Темпы роста были примерно одинаковые. Это говорит о том, что для определения прогнозного значения можно использовать средний темп роста:

Проверим гипотезу о наличии тренда с помощью критерия Фостера-Стюарта. Для этого заполним вспомогательную таблицу 4:

Таблица 4

Вспомогательная таблица

t	yt	mt	lt	d	t	yt	mt	lt	d
1	9,8	-	-	-	9	16,0	0	0	0
2	11,8	1	0	1	10	18,0	1	0	1
3	12,6	1	0	1	11	19,8	1	0	1
4	14,6	1	0	1	12	23,7	1	0	1
5	12,9	0	0	0	13	21,0	0	0	0
6	14,7	1	0	1	14	23,9	1	0	1
7	15,5	1	0	1	15	26,9	1	0	1
8	17,8	1	0	1	16	31,7	1	0	1

Применим критерий Стьюдента:

Тогда:

Получаем, , то есть , следовательно гипотеза Н₀ отвергается, тренд есть.

Проанализируем структуру временного ряда с использованием коэффициента автокорреляции.

Найдем последовательно коэффициенты автокорреляции:

–

коэффициент автокорреляции первого порядка, так как сдвиг во времени  равен единице ( -лаг).

Аналогично находим остальные коэффициенты.

– коэффициент автокорреляции второго порядка.

– коэффициент автокорреляции третьего порядка.

– коэффициент автокорреляции четвертого порядка.

Таким образом, мы видим, что самым высоким является коэффициент автокорреляции четвертого порядка. Это говорит о том, что во временном ряде присутствуют сезонные колебания с периодичностью в четыре квартала.

Проверим значимость коэффициента автокорреляции. Для этого введем две гипотезы:Н₀: , Н₁: .

 находится по таблице критических значений  отдельно для >0 и <0. Причем, если | |>| |, то принимается гипотеза Н₁,то есть коэффициент значим. Если | |<| |, то принимается гипотеза Н₀ и коэффициент автокорреляции незначим. В нашем случае коэффициент автокорреляции достаточно велик, и проверять его значимость необязательно.

Требуется провести сглаживание временного ряда и восстановить потерянные уровни.

Проведем сглаживание временного ряда с помощью простой скользящей средней. Результаты расчетов представим в виде следующей таблицы 13.

 

Таблица 5

Сглаживание исходного ряда с помощью скользящей средней

№ года	№ квартала	t	Импорт товаров, млрд.долларов США, yt	Скользящая средняя,
1	I	1	9,8	-	-
	II	2	11,8	-	-
	III	3	12,6	12,59	1,001
	IV	4	14,6	13,34	1,094
2	I	5	12,9	14,06	0,917
	II	6	14,7	14,83	0,991
	III	7	15,5	15,61	0,993
	IV	8	17,8	16,41	1,085
3	I	9	16	17,36	0,922
	II	10	18	18,64	0,966
	III	11	19,8	20,0	0,990
	IV	12	23,7	21,36	1,110
4	I	13	21	22,99	0,913
	II	14	23,9	24,88	0,961
	III	15	26,9	-	-
	IV	16	31,7	-	-

Теперь рассчитаем отношение фактических значений к уровням сглаженного ряда. В результате получим временной ряд, уровни которого отражают влияние случайных факторов и сезонности.

Предварительные оценки сезонной составляющей получим усреднением уровней временного ряда  для одноименных кварталов:

ü для I квартала:

ü для II квартала:

ü для II квартала:

ü для IV квартала:

Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной форме выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу фаз в цикле. В нашем случае число фаз равно четырем. Просуммировав средние значения по кварталам, получаем:

Поскольку сумма получилась неравной четырем, необходимо произвести корректировку значений сезонной составляющей. Найдем поправку, на которую надо изменить предварительные оценки сезонности:

Определяем скорректированные значения сезонной, результаты сведем в таблицу 6.

Таблица 6

Оценивание сезонной компоненты в мультипликативной модели.

№ квартала	i	Предварительная оценка сезонной компоненты,	Скорректированное значение сезонной компоненты,
I	1	0,917	0,921
II	2	0,973	0,978
III	3	0,995	1,000
IV	4	1,096	1,101
		3,981	4

Проводим сезонную корректировку исходных данных, то есть, удаляем сезонную составляющую.

 

 

Таблица 7

Построение мультипликативной тренд сезонной модели.

t	Импорт товаров , млрд.долларов США	Сезонная компонента,	Десезонализированный импорт товаров,	Расчетное значение,	Расчетное значение импорта товаров,
1	9,8	0,921	10,6406	11,48	10,57308
2	11,8	0,978	12,0654	11,85	11,5893
3	12,6	1	12,6	12,32	12,32
4	14,6	1,101	13,2607	12,89	14,19189
5	12,9	0,921	14,0065	13,56	12,48876
6	14,7	0,978	15,0307	14,33	14,01474
7	15,5	1	15,5	15,2	15,2
8	17,8	1,101	16,1671	16,17	17,80317
9	16	0,921	17,3724	17,24	15,87804
10	18	0,978	18,4049	18,41	18,00498
11	19,8	1	19,8	19,68	19,68
12	23,7	1,101	21,5259	21,05	23,17605
13	21	0,921	22,8013	22,52	20,74092
14	23,9	0,978	24,4376	24,09	23,56002
15	26,9	1	26,9	25,76	25,76
16	31,7	1,101	28,792	27,53	30,31053

По МНК получаем следующее уравнение тренда:

.

Заполним последние два столбца таблицы и изобразим модель графически:

 

Оценим точность полученной модели. Рассчитаем коэффициент детерминации

Таким образом, доля объясненной дисперсии уровней ряда равна 99,02%.

Для начала анализа построим ряд остатков и занесем все необходимые данные в таблицу 8.

Таблица 8

Ряд остатков

	t	yt
	1	9,8	10,57	-0,77	0,5929	-0,45653	0,35153
	2	11,8	11,59	0,21	0,0441	0,009261	0,001945
	3	12,6	12,32	0,28	0,0784	0,021952	0,006147
	4	14,6	14,19	0,41	0,1681	0,068921	0,028258
	5	12,9	12,49	0,41	0,1681	0,068921	0,028258
	6	14,7	14,01	0,69	0,4761	0,328509	0,226671
	7	15,5	15,2	0,3	0,09	0,027	0,0081
	8	17,8	17,8	0	0	0	0
	9	16	15,88	0,12	0,0144	0,001728	0,000207
	10	18	18	0	0	0	0
	11	19,8	19,68	0,12	0,0144	0,001728	0,000207
	12	23,7	23,18	0,52	0,2704	0,140608	0,073116
	13	21	20,74	0,26	0,0676	0,017576	0,00457
	14	23,9	23,56	0,34	0,1156	0,039304	0,013363
	15	26,9	25,76	1,14	1,2996	1,481544	1,68896
	16	31,7	30,31	1,39	1,9321	2,685619	3,73301
∑		290,7			5,3318	4,436138	6,164343

Изобразим графически ряд остатков:

 

Рис. 3. График остатков

Проанализировав полученный график можно сделать вывод о случайности колебаний этого ряда.

Так же качество модели можно проверить с помощью показателей асимметрии и эксцесса остатков. В нашем случае получаем:

Так как,

,

то гипотеза о нормальном распределении остатков отвергается.

Поскольку одно из неравенств выполняется, то уместен вывод о том, что гипотеза о нормальном характере распределения остатков отвергается.

Заключительным этапом применения кривых роста является расчет прогнозов на базе выбранного уравнения.

Для прогнозирования импорта товаров в следующем году оценим значения тренда при t=17, t=18, t=19 и t=20:

Затем умножим полученные значения на соответствующие оценки сезонной составляющей.

Таким образом, ожидаемый экспорт товаров в следующем году составляет 130,25 млрд.долларов США.

 

 

Список литературы:

1. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник, – М.: Финансы и статистика, 2002. - 480 с

2. Минзов А.С. Эконометрика.- М.:Издательство , 2000.–51 с.

3. Александрова Р.Н. Экономический анализ деятельности перерабатывающих предприятий АПК. Справочное пособие. – М.: Агропромиздат, 1990.

4. Личко Н.М. Планирование на предприятиях АПК. – М., 1996.

5. Финам. События и рынки, – http://www.finam.ru/