Свойства однофакторных моделей

Введение

Целью современной теории портфеля является разработка методов, с помощью которых инвестор может выбрать оптимальный для себя портфель из бесконечного числа возможных. Для решения вопроса о включении каждой рассматриваемой ценной бумаги в портфель инвестору нужно оценить ее ожидаемую доходность и стандартное отклонение вместе со всеми ковариациями между этими ценными бумагами. Используя такие оценки, инвестор может определить кривую эффективного множества Марковица. После этого для данной безрисковой ставки инвестор может найти касательный портфель и определить положение линейного эффективного множества. Наконец, инвестор может произвести инвестицию в этот касательный портфель и сделать заем или выдать кредит по безрисковой ставке. При этом сумма займа или кредита зависит от предпочтений инвестора относительно соотношения риска и доходности.

Задача определения кривой эффективного множества Марковица может быть сильно упрощена с помощью введения процесса формирования дохода (returngeneratingprocess). Процессом формирования дохода называется статистическая модель, которая описывает, как образуется доход по ценной бумаге. В гл. 8 был рассмотрен один из таких процессов, известный как рыночная модель. Согласно рыночной модели, доходность по ценной бумаге является функцией доходности по индексу рынка. Однако существует много других типов процессов формирования дохода по ценным бумагам.

В факторных (или индексных) моделях (factormodels) предполагается, что доходность ценной бумаги реагирует на изменения различных факторов (или индексов). В случае рыночной модели предполагается, что имеется только один фактор - доходность по индексу рынка. Однако для попыток точно оценить ожидаемые доходности, дисперсии и ковариации ценных бумаг многофакторные модели потенциально более полезны, чем рыночная модель. Это объясняется тем, что фактические доходности по ценным бумагам оказываются чувствительными не только к изменению индекса рынка, и в экономике, вероятно, существует более одного фактора, влияющего на доходность ценных бумаг.

Факторная модель представляет собой попытку учесть основные экономические силы, систематически воздействующие на курсовую стоимость всех ценных бумаг. При построении факторной модели неявно предполагается, что доходности по двум ценным бумагам коррелированы (т.е. изменяются согласованно) только за счет общей реакции на один или более факторов, определенных в этой модели. Считается, что любой аспект доходности ценной бумаги, не объясненный факторной моделью, является уникальным или специфическим для данной ценной бумаги и, следовательно, не коррелирован с уникальными аспектами доходностей других ценных бумаг. В результате факторная модель является мощным средством управления портфелем инвестиций. Она может дать необходимую информацию для вычисления ожидаемых доходностей, дисперсий и ковариаций для каждой ценной бумаги, что является необходимым условием для определения кривой эффективного множества Марковица. Она также может быть использована для характеристики чувствительности портфеля к изменениям факторов.

На практике все инвесторы явно или неявно применяют факторные модели. Это связано с тем, что невозможно рассматривать взаимосвязь каждой ценной бумаги с каждой другой по отдельности, так как объем вычислений при расчете ковариаций ценных бумаг растет с ростом числа анализируемых ценных бумаг.

Сложная картина дисперсий и ковариаций начинает пугать воображение в случае десятка ценных бумаг, не говоря уже о сотнях или тысячах. Даже огромных возможностей быстродействующих компьютеров становится недостаточно для построения эффективных множеств при большом числе ценных бумаг.

Поэтому абстракция является существенным шагом при определении кривой эффективного множества Марковица, и факторные модели дают необходимый уровень абстрактности. Они предлагают инвестиционным менеджерам метод, позволяющий выделить в экономике важные факторы и оценить, насколько различные ценные бумаги и портфели инвестиций чувствительны к изменениям этих факторов.

Если принять, что доходности ценных бумаг подвержены влиянию одного или более факторов, то первоначальной целью анализа ценных бумаг является определение этих факторов и чувствительности доходностей ценных бумаг к их изменению. Формальное утверждение о существовании такой связи называется факторной моделью доходности ценных бумаг. Начнем обсуждение с простейшей формы такой модели - однофакторной модели.

Однофакторные модели

Некоторые инвесторы утверждают, что процесс формирования дохода по ценным бумагам описывается одним-единственным фактором. Например, они могут считать, что доходности ценных бумаг реагируют на предсказанный темп роста валового внутреннего продукта (ВВП). Табл. 1.1 и рис. 1.1 иллюстрируют один из способов наполнения содержанием подобных утверждений.

Таблица 1.1

2,9% = ВВП6

Рис. 1.1. Однофакторная модель

Пример

Горизонтальная ось на рис. 1.1 соответствует предсказанному темпу прироста ВВП, а вертикальная ось - доходности акций компании Widget. Каждая звездочка на графике представляет собой комбинацию доходности акций Widget и темпа прироста ВВП для соответствующего года согласно табл. ПЛ. С помощью метода простой регрессии данные были аппроксимированы прямой линией. (Слово простой означает, что в правой части уравнения имеется лишь одна переменная, в этом случае - ВВП3.) Эта прямая имеет положительный наклон, равный двум, что указывает на существование положительной связи между скоростью прироста ВВП и доходностью по акциям компании Widget. Более высокие темпы прироста ВВП соответствуют более высоким доходностям.

Связь между предсказанным темпом прироста ВВП и доходностью акций компании Widget может быть выражена в виде уравнения:

r₁ = а + bВВП₁ + е₁ , (ll.l)

где r₁ - доходность акций т период t;

ВВП₁- предсказанный темп прироста ВВП за период г,₁ - уникальная, или специфическая, доходность за период t;

b - чувствительность (sensitivity) к предсказанному темпу

прироста ВВП;

а - нулевой фактор для ВВП.

На рис. 1.1 нулевой фактор равен 4% за период. Это доходность, которая ожидалась бы для акций Widget, если бы предсказанный темп прироста ВВП равнялся нулю. Чувствительность акций Widget к предсказанному темпу прироста ВВП (Ь) равна двум, что совпадает с наклоном прямой линии на рис. 1.1. Это значение указывает на то, что более высокий предсказанный прирост ВВП ассоциируется с более высокой доходностью акций Widget. Если предсказанный прирост ВВП равен 5%, то акции Widget дадут доходность 14% (4% + 2 х 5%). Если предсказанный прирост ВВП будет на 1% больше, т.е. составит 6%, то доходность должна быть на 2% больше, т.е. равняется 16%.

В этом примере предсказанный прирост ВВП за шестой год был равен 2,9%, а фактическая доходность акций Widget составила 13%. Следовательно, уникальная доходность акций Widget (обозначенная е;) в этом конкретном году была равна 3,2%. Это число было получено путем вычитания величины ожидаемой доходности, соответствующей предсказанному приросту ВВП в 2,9%, из фактической доходности, равной 13%. В этом случае ожидаемая доходность акций Widget составила бы 9,8% (4 + 2 х 2,9%). Тем самым специфическая доходность получается равной +3,2% (13%-9,8%).

В итоге однофакторная модель, представленная рис. 11.1 и уравнением (11.1), отражает доходность акций Widget за любой конкретный период в виде суммы трех элементов:

. Элемент, одинаковый для всех периодов (член а).

. Элемент, который меняется от периода к периоду и зависит от предсказанного темпа прироста ВВП (член bВВП;).

. Элемент, специфический для конкретного рассматриваемого периода (член e₁).

Свойства однофакторных моделей

факторный модель доходность инвестиция

Особый интерес представляют два свойства однофакторных моделей. Касательный портфель

Во-первых, предположение о том, что доходности всех ценных бумаг реагируют на единственный общий фактор, значительно упрощает задачу определения касательного портфеля. Для определения его состава инвестор должен оценить все ожидаемые доходности, дисперсии и ковариации. В однофакторной модели это можно сделать, оценив а., Ь. и се1 для любой из N рискованных ценных бумаг.

Необходимо также иметь ожидаемое значение фактора Fu его стандартное отклонение af. Используя все эти оценки в уравнениях (1.3), (1.4) и (1.5), можно вычислить ожидаемые доходности, дисперсии и ковариации ценных бумаг. С помощью этих параметров можно определить кривую эффективного множества Марковица. Наконец, отсюда может быть определен касательный портфель для заданной безрисковой ставки.

Общая чувствительность ценных бумаг к фактору устраняет необходимость непосредственного вычисления ковариации между ценными бумагами. Эти ковариации уже учтены в чувствительностях ценных бумаг к фактору и в его дисперсии.

Диверсификация

Второе интересное свойство однофакторных моделей имеет отношение к диверсификации. Ранее было показано, что диверсификация приводит к усреднению рыночного риска и снижению собственного риска. Это свойство относится и к любой однофакторной модели, если заменить слова рыночный и собственный на факторный и нефакторный . Первый член в правой части уравнения (1.4) (b2a2f) называется факторным риском (factorrisk) ценной бумаги, а второй (а2.) называется нефакторным риском (nonfactorrisk) ценной бумаги.

В однофакторной модели дисперсия портфеля задается выражением:

Уравнение (1.6а) показывает, что общий риск любого портфеля можно представить в виде двух компонентов, аналогичных двум компонентам общего риска отдельной ценной бумаги, приведенным в уравнении (1.4). В частности, первый и второй члены правой части уравнения (1.6а) являются факторным и нефакторным рисками портфеля соответственно.

По мере того как портфель становится более диверсифицированным (т.е. содержащим больше ценных бумаг), каждая доля X₁ становится меньше. Однако это не приведет к значительному уменьшению или увеличению b_p, если специально не предпринималась попытка сделать это путем добавления ценных бумаг с относительно малыми или большими значениями b соответственно. Как видно из уравнения (1.6б), это связано с тем, что b является просто взвешенным средним чувствительностей ценных бумаг b_i, в котором весами служат значения X_i. Таким образом, диверсификация приводит к усреднению факторного риска.

Однако по мере того как портфель становится более диверсифицированным, можно ожидать уменьшения нефакторного риска s²_ep. Это можно показать, рассматривая уравнение (1.1 бв). Предположив, что в каждую ценную бумагу инвестирована одна и та же сумма, это уравнение может быть переписано при замене Х₁ на 1/N следующим образом:

Величина внутри квадратных скобок является средним нефакторным риском для отдельных ценных бумаг. Но нефакторный риск портфеля составляет лишь 1/N часть этой величины из-за множителя 1/N перед скобками. По мере того как портфель становится более диверсифицированным, число N ценных бумаг в нем растет. При этом 1/Nуменьшается, что, в свою очередь, уменьшает нефакторный риск портфеля. Проще говоря, диверсификация уменьшает нефакторный риск.