П.3 Математическое моделирование объекта управления

Математическое описание объекта управление выбирается из литературных источников, в которых отражены вопросы моделирования подобных технологических процессов. Если в результате анализа литературных источников не удалось найти адекватного математического описания объекта управления, то оно разрабатывается самостоятельно.

В качестве примера приводится математическое описание котлоагрегата как объекта управления.

При разработке математической модели приняты следующие допущения:

- объем воды и парового пространства считается объектом с сосредоточенными параметрами и принимается идеальное перемешивание в объеме;

- тепловой емкостью поверхности нагрева пренебрегаем;

- паровая среда представляется как идеальный газ;

- при температуре меньше температуры кипения парообразования не происходит;

- потерь тепла через ограждения в окружающую среду не происходит;

- температуры воды и пара равны;

- удельные теплоемкости воды, пара, газовоздушной смеси постоянны;

- давление в камере сгорания постоянно.

Уравнение материального баланса для воды в барабане котлоагрегата имеет вид:

где G_в – масса воды в барабане котла, кг; g_в , g^и_п – расходы входящей питающей воды и испаряющегося пара, соответственно, кг/с.

Уравнение энергетического баланса для воды в барабане котла имеет вид:

где с_в – удельная теплоемкость воды, Дж/(кг×°С); t_в – температура воды в барабане котла, °С;
t ^вх _в – температура питающей воды, °С; t_к – температура в греющей камере (топке), °С; k – коэффициент теплопередачи через поверхность нагрева, Вт/(м²×°С); F – поверхность теплопередачи, м²; g_п – расход испаряющегося пара, кг/с; i_п – удельная энтальпия испаряющегося пара, Дж/кг.

Продифференцируем (2) как сложную функцию и подставим в выражение (1):

Тогда выражение (2) запишется в виде:

С учетом того, что удельная теплота парообразования λ равна

уравнение энергетического баланса для воды в барабане запишется в виде:

Уравнение материального баланса для пара в котле имеет вид:

где G_п – масса пара в паровом пространстве, кг; g_п – расход отбираемого пара, кг/с.

Согласно принятым допущениям пар подчиняется закону идеального газа Менделеева–Клапейрона:

где p – давление пара в котле, Па; V_п – объем парового пространства, м³; M – молярная масса воды; R – универсальная газовая постоянная.

Объем парового пространства связан с объемом (или массой воды) в котле соотношением:

где V_o , V_в – общий объем котла и объем воды в котле, м³; ρ_в – плотность воды, кг/м³.

Температура кипения воды (и температура пара) является функцией давления:

t_в = f (p) .                                                                            (7)

Зависимость (7) может быть получена в результате аппроксимации табличных данных состояния воды и водяного пара [П.4].

Расход пара через вентиль может быть описан выражением:

где – текущая и максимальная проводимость вентиля, соответственно; μ₁ – степень открытия вентиля.

Уравнение энергетического баланса для газовоздушной среды в камере сгорания (топке) записывается в виде:

где с_к , G_к – удельная теплоемкость и масса газовоздушной среды в камере сгорания; g_см – расход топлива; r – удельная теплота сгорания топлива.

Тепловая емкость камеры сгорания значительно ниже тепловой емкостью нагреваемой воды, поэтому динамикой изменения температуры в топке t_к можно пренебречь. В результате уравнение (9) запишется в виде:

Расход топлива также может быть описан зависимостью

где  – текущая и максимальная проводимость вентиля; μ₂ – степень открытия вентиля на линии подачи топлива.

Таким образом, уравнения (1), (3) ÷ (11) представляют собой математическое описание процесса производства пара в котлоагрегате как объекта управления.