Метод Гаусса – прямой и обратный ход

Рассмотрим метод Гаусса. Например, пусть дана расширенная матрица некоторой системы m линейных уравнений c n неизвестными:

Будем считать, что a₁₁ ≠ 0 (если это не так, то достаточно переставить первую и некоторую другую строку расширенной матрицы местами). Проведем следующие элементарные преобразования:

C₂-(a₂₁/a₁₁)*C₁,

...

C_m-(a_m1/a₁₁)*C₁,

т.е. Ci-(a_i1/a₁₁)*C₁, i = 2, 3, ..., m.

Т. е. от каждой строки расширенной матрицы (кроме первой) отнимаем первую строку, умноженную на частное от деления первого элемента этой строки на диагональный элемент а₁₁.

В результате получим матрицу:

Т. е. первая строка осталась без изменений, а в столбце под а₁1 на всех местах оказались нули. Обратим внимание, что преобразования коснулись всех элементов строк, начиная со второй, всей расширенной матрицы системы.

Теперь наша задача состоит в том, чтобы получить нули подо всеми диагональными элементами матрицы А – a_ij, где I = j.

Повторим наши элементарные преобразования, но уже для элемента α₂₂.

C₁-(a₁₂/α₂₂)*C₂,

...

C_m-(α_m2/α₂₂)*C₂,

т.е. C_i-(α_i2/α₂₂)*C₂, i = 3, ..., m.

Т. е. от каждой строки расширенной матрицы (теперь кроме первой и второй) отнимаем вторую строку, умноженную на частное от деления первого элемента этой (текущей) строки на диагональный элемент α₂₂.

Такие преобразования продолжаются до тех пор, пока матрица не приведется к верхнее - треугольному виду. Т. е. под главной диагональю не окажутся все нули:

Вспомнив, что каждая строка представляет собой одно из уравнений линейной системы уравнений, легко заметить, что последнее m-ое уравнение принимает вид:

γ_mn*x_n = δ_m.

Отсюда легко можно найти значение первого корня – x_n = δ_m/γ_mn.

Подставив это значение в предыдущее m-1-е уравнение, легко получим значение x_n-1-ого корня.

Таким образом, поднимаясь до самого верха обратным ходом метода Гаусса, мы последовательно найдем все корни системы уравнений [5].

Пример 1

Рассмотрим систему уравнений:

Главный определитель данной системы:

Δ = [1*(-4)*(-2)+2*2*1+(-1)*(-1)*(-1)]-[1*(-4)*(-1)+2*(-1)*(-2)+2*(-1)*1] = [8+4-1]-[4+4-2] = 11-6 =5,

т. е. Δ ≠ 0.

Т. е. система определена и разрешима. Решим ее по методу Гаусса.

Проведем прямой ход метода Гаусса, выписав предварительно расширенную матрицу системы:

Получим нули под главной диагональю в первом столбце расширенной матрицы. Для получения нуля в элементе a21 (т. е. под диагональю во второй строке матрицы) вторую строку матрицы преобразуем по формуле C₂-(a₂₁/a₁₁)*C₁ = C₂-(2/1)*C₁ = C₂-2*C₁:

Аналогично поступаем и с элементом а31 (т. е. под диагональю в третьей строке матрицы). Третью строку матрицы преобразуем по формуле C₃-(a₃₁/a₁₁)*C₁ = C₃-(-1/1)*C₁ = C₃+C₁:

Таким образом, мы получили нули под главной диагональю в первом столбце расширенной матрицы. Осталось получить нуль под главной диагональю во втором столбце матрицы, т. е. на месте элемента а32. Для этого третью строку матрицы преобразуем по формуле C₃-(a₃₂/a₂₂)*C₂ = C₃-(1/-2)*C₂ = C₃+1/2C₂:

Таким образом, проведя прямой ход метода Гаусса, мы получили расширенную матрицу системы, приведенную к верхне-треугольному виду:

Эта матрица эквивалентна системе:

Обратным ходом метода Гаусса найдем корни системы. Из последнего уравнения найдем корень х₃:

-5/2x₃ = 3/2,

x₃ = (3/2):(-5/2) = 3/2*(-2/5) = -3/5.

Корень x₃ = -3/5 найден. Подставим его в верхнее (второе) уравнение системы (-2x₂-3x₃ = 1):

-2x₂-3(-3/5) = 1,

-2x₂+9/5 = 1,

-2x₂ = 1-9/5,

-2x₂ = -4/5,

x₂ = (-4/5):(-2) = (-4/5)*(-1/2) = 2/5.

Корень x₂ = 2/5 найден. Подставим его и корень х₃ в верхнее (первое) уравнение системы (x₁-x₂+x₃ = 0):

x₁-2/5+(-3/5) = 0,

x₁-5/5 = 0,

x₁ = 5/5 = 1.

Проверка:

т. е.

т. е.

и т. д [9].

Вывод: Итак, метод Гаусса (или, иначе, метод последовательного исключения неизвестных) состоит в следующем:

1. Путем элементарных преобразований систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с верхнее - треугольной матрицей. Эти действия называют прямым ходом.

2. Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).

3. При этом все преобразования проводятся над так называемой расширенной матрицей системы, которую и приводят к верхнее - треугольному виду в прямом ходе метода.