Решение СЛАУ методом Зейделя

 

Решить СЛАУ методом Зейделя с точностью .

 

 

Эту систему можно записать в виде:

 

 

В этой системе сразу видно, что выполняется условие, где диагональные элементы матрицы коэффициентов по модулю больше, чем сумма модулей остальных элементов соответствующей строки.

Для удобства преобразуем систему к виду:

 

 

Условие сходимости:

 

,

 

Принимаем приближение на 0-ом шаге:

 

 

На 1-м шаге выполняем следующее:

Подставляем принятые приближения в первоначальную систему уравнений

 

 

Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса

 

:

 

На 2-м шаге выполняем следующее:

 

 

Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса

 

:

 

На 3-м шаге выполняем следующее:

 

 

Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса:

 

:

 

На 4-м шаге выполняем следующее:

 

 

Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса

 

:

 

Необходимая точность достигнута на 4-й итерации. Таким образом, итерационный процесс можно прекратить [9].

 

 

Сравнительный анализ

 

Можно заметить, что в методе Зейделя быстрее мы достигаемой нужной точности, в нашем случае в точность была достигнута на 4-й итерации, когда в методе простых итераций она была достигнута на 6-й итерации. Но в то же время в методе Зейделя ставится больше условий. Поэтому вначале нужно произвести иногда довольно трудоемкие преобразования. В таблице 4.1 приведены результаты решения СЛАУ методом простой итерации и методом Зейделя на различных шагах итерации:

 

Таблица 4.1 - Результаты решения СЛАУ

№ шага	Метод постой итерации	Метод Зейделя
0	x1=1.34 x2=-1.75 x3=0.5 x4=0.65	x1=1.34 x2=-1.75 x3=0.5 x4=0.65
1	x1=1.277 x2=-1.56227 x3=0.3147 x4=0.5335	x1=1.277 x2=-1.57047 x3=0.3324 x4=0.5837
2	x1=1.31335 x2=-1.6127 x3=0.3647 x4=0.5884	x1=1.32469 x2=-1.5974 x3=0.355808 x4=0.58638
3	x1=1.315391 x2=-1.5935 x3=0.34936 x4=0.57867	x1=1.318014 x2=-1.5945 x3=0.354137 x4=0.58556
4	x1=1.3173416 x2=-1.5968 x3=0.35577 x4=0.58589	x1=1.318367 x2=-1.59481 x3=0.35437 x4=0.58554
5	x1=1.3179137 x2=-1.59467 x3=0.35371 x4=0.58462
6	x1=1.3181515 x2=-1.59506 x3=0.35455 x4=0.58557

 

Заключение

Огромное количество численных методов ставит актуальной задачей не столько создание новых, сколько исследование и классификацию старых, выявление лучших. Анализ влияния ошибок показал, что между лучшими методами нет принципиальной разницы с точки зрения устойчивости к ошибкам округления. Создание мощных компьютеров существенно ослабило значение различия между методами (в таких характеристиках, как объём требуемой памяти, количество арифметических операций). В этих условия наиболее предпочтительными становятся те методы, которые не очень отличаются от лучших по скорости и удобству реализации на компьютерах, позволяют решать широкий класс задач как хорошо, так и плохо обусловленных и давать при этом оценку точности вычислительного решения.

В MathCAD и Excel численные методы представляют собой те же самые общепринятые ручные расчёты, но выполняемые не человеком, а компьютером, что понижает возможность ошибки до нуля. Программа на Visual Basic намного упрощает задачу. С помощью единожды созданной программы можно решать системы линейных уравнений, вводя минимум значений. Также эта программа может быть использована не только вами, но и простыми пользователями.

В ходе выполнения дипломной работы был проведен сравнительный анализ численных методов, таких как итерация, интерполяция, метод Эйлера.

В результаты все поставленные задачи были выполнены, цели достигнуты. Мы приобрели навыки в применении различных численных методов на практике. А также были исследованы различные методы.

Теперь перед нами стоит задача в применении приобретенных знаний в своей будущей профессиональной деятельности.

Список литературы:

1. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высш. шк., 2004. 544 с.

 

2. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 2003. 512 с.

 

3. Райс Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение. М.: Мир, 2004. 264 с.

 

4. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 2000. 664 с.

 

5. Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по численным методам. М.: Высш. шк., 2009. 184 с.

 

6. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Вводные лекции по прикладной математике. М.: Наука, 2004. 190 с.

 

7. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.: Наука, 2003. 335 с.

 

8. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 2006. 320 с.

 

9. Годунов С.К. Решение систем линейных уравнений. Новосибирск: Наука,2000.

10. М. Додж, К. Кината, К. Стинсон "Эффективная работа в Microsoft Excel 97", издательство "Питер"; Санкт-Петербург, 2008г.11. Е.К. Овчаренко, О.П. Ильина, Е.В. Балыбердин "Финансово - экономические расчеты в Excel", Москва, 2009 г.12. Йорг Шиб, Excel 7,0: Сотни полезных рецептов, Дюссельдорф-Киев-Москва- Санкт-Петербург, 2007 г.

13. Симонович С.В. и др. Информатика Базовый курс: Учеб, для технических вузов. СПБ: Изд. «Питер», 2004.–640с

14. Калиткин Н.Н. и др. Численные методы. М.: Наука, 2002

15. Турчак Л.И. Основы численных методов. М.: Наука, 2007

16. Дьяконов В.П. Система MathCAD. М.: Радио и связь, 2003

17.  Р.Ф. Хемминг "Численные методы (для научных работников и инженеров)". - Москва, 2002.

18.  А.А. Амосов, А.Ю. Дубинский, Н.В. Копченова "Вычислительные методы для инженеров". - Москва, "Высшая школа", 2004.

19.  Ф.В. Формалев, Д.Л. Ревизников "Численные методы". - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

20.  Е.А. Волков. Численные методы: Учеб. Пособие для вузов - М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 2007. - 248 с.