Результаты анализа нелинейных уравнений системы ФАПЧ

Рассмотрим нелинейные уравнения (5)-(8). Известно, что каждое нелинейное уравнение анализируется индивидуально, причем различными методами, включая численные методы и методы моделирования на ЭВМ. Ввиду этого в рамках данного описания невозможно подробно изложить пути решения и все результаты исследования приведенных уравнений. Интересующиеся могут обратиться к специальной литературе по системам ФАПЧ. Некоторые сведения даны в [1-3]. Ниже приведем только основные из них.

Остановимся сначала на простейшей системе ФАПЧ без петлевого фильтра и рассмотрим случай вхождения ее в синхронизм с сигналом постоянной частоты при условии  и  Тогда нелинейное уравнение данной системы может быть записано в виде:
                                                                                            (9)
и представлено графически на фазовой плоскости, то есть в системе координат – ось абсцисс  и ось ординат  (см. рис. 3). На рис. 3  нижняя кривая 1 соответствует случаю а верхняя кривая 2 – случаю, когда модуль  больше нуля, но меньше величины

                                                              Рис. 3.

Рассмотрим сначала кривую 1. Нетрудно понять, что точки 0, 0л, 0п и все остальные для которых  где целые числа, являются устойчивыми точками. Для этих точек выполняются условия  и   При малых отклонениях от названных точек возникает сигнал ошибки такого знака, при котором изменение полной фазы колебаний ГУНа направлено на уменьшение этого отклонения. Точки –Pi, Pi и т.д. соответственно являются неустойчивыми точками.

Если система ФАПЧ включается при условии  то она сразу же оказывается в синхронизме с входным сигналом ( однако, вероятность данного варианта практически равна нулю).

При условии  и  начинается процесс вхождения в синхронизм по начальной фазе. Случайная величина  равновероятно принимает любые значения в диапазоне  Если | |  то приближенно имеем  Тогда получаем  В этом случае сдвиг по фазе уменьшается по экспоненциальному закону, как и в любой линейной системе 1-го порядка. Если  то для отрезка времени  выражение (9) приобретает вид:  Тогда функция  уменьшается сначала линейно, а затем экспоненциально. При условии  скорость убывания функции  сначала мала из-за малости модуля величины  Затем скорость убывания начинает возрастать (вблизи значений , далее, при малых , процесс убывания становится экспоненциальным. В любом случае данный переходный процесс является апериодическим и величина стремится к нулю асимптотически. Длительность процесса установления определяется величиной отрезка времени от момента  до момента достижения модулем функции  допустимого малого значения  Ясно, что величина  максимальна при

Остановимся теперь на наиболее вероятном случае  и  описываемом кривой 2 на рис. 3. В этом случае устойчивыми будут точки Уо, Ул, Уп и т.д., а неустойчивыми – точки Нл, Нп. Можно видеть, что если значения и  соответствуют точке Уо, то синхронизм устанавливается без переходного процесса. Однако, в такой устойчивой точке поддерживается лишь синхронизм по частоте, то есть,  равенство  но не обеспечивается равенство начальных фаз входного радиосигнала и колебаний ГУНа. При этом имеем  Данный небаланс по начальной фазе характерен и для линейных следящих систем и называется ошибкой по скорости  Образуемый при этом ненулевой сигнал ошибки служит для сдвига рабочей точки ГУНа по его модуляционной характеристике настолько, чтобы подстроить частоту ГУНа под частоту входного сигнала.

В случаях, когда начинается процесс вхождения в синхронизм, при котором исходная рабочая точка системы ФАПЧ на кривой 2 (рис.3), не совпадающая с устойчивой точкой Уо переходит в какое-либо устойчивое положение (точку). Если ее начальное положение оказывается между точками Уо и Нп, то рабочая точка будет смещаться влево в сторону устойчивой точки Уо, пока асимптотически не совпадет с ней. Если начальное положение рабочей точки окажется между точками Нл и Уо, то она начнет движение вправо до совпадения с точкой Уо. Если же начальное положение рабочей точки окажется правее точки Нп, то рабочая точка начнет сдвигаться вправо до совпадения с устойчивой точкой Уп.  В этом случае говорят, что произошло проскальзывание по дискриминационной кривой ФД с накоплением дополнительного запаздывания по начальной фазе на величину  Такое явление иногда называют появлением экстрасистолы, то есть, с выпадением одного периода дискриминационной кривой (в медицине это соответствует отсутствию одного очередного сокращения сердца). В случае аналогичной ситуации при отрицательном значении  произойдет проскальзывание с опережением по начальной фазе на величину . Такое явление иначе называют тахикардией (появлением лишнего удара сердца наряду с его периодическим сокращением). Другой аналогией описанной ситуации является наличие в группе спортсменов-бегунов, осуществляющих равномерное движение по беговой дорожке круглого стадиона, бегуна, до этого проигравшего (или соответственно выигравшего) один круг многокругового забега.

Во всех рассматриваемых случаях длительность вхождения в синхронизм имеет конечное значение, зависящее от величин

Если же модуль начальной расстройки по частоте окажется больше величины  то кривая, соответствующая уравнению (9) на рис. 3, не будет иметь точек пересечения с осью абсцисс, в том числе и устойчивых точек. Тогда система ФАПЧ не входит в синхронизм, так как она не может выработать столь большого сигнала ошибки, который необходим для изменения частоты ГУНа на величину, большую

Диапазон частот входного сигнала, в котором система ФАПЧ еще может войти в режим синхронизма по частоте, называют полосой захвата сигнала . Для данной системы ФАПЧ без ПФ имеем 2

Найдем теперь условие срыва режима синхронизации по частоте в системе ФАПЧ без ПФ. Нетрудно видеть, что в режиме слежения в уравнении (5) имеем  и  поэтому следует рассмотреть влияние вариации начальной фазы  входного радиосигнала.

Из анализа рисунка 3 следует, что любые скачки начальной фазы не приводят к срыву синхронизации по частоте. Если эти скачки окажутся меньше  то они будут отслежены и система возвратится в устойчивую точку  кривой 1 (см. рис. 3). При скачках, больших  система перейдет в другую устойчивую точку (с проскальзыванием на целое число  радиан), но после этого равенство  сохранится.

Иное дело, если появляется скачек частоты  Из выражений (5а) и (5б) видно, что реакция системы ФАПЧ без петлевого фильтра на скачек подобна ее реакции на наличие начальной расстройки по частоте  Следовательно, при условии, что суммарное отличие частоты сигнала от начальной частоты ГУНа не превышает величины  данная система не выходит из режима синхронизации.

Диапазон частот входного радиосигнала, в котором система ФАПЧ при отсутствии помех может поддержать синхронизацию по частоте, называют полосой удержания системы  В нашем случае имеем

Анализ нелинейных уравнений (6)-(8) показывает, что системы ФАПЧ с упомянутыми выше ПФ являются уже системами 2-го порядка. У них переходный процесс может иметь апериодический, критический и колебательный характер. Это зависит от соотношений между величинами параметров ПФ и величины  Что касается величин  и
 то отметим следующее.

Для системы ФАПЧ с ПФ в виде интегрирующей цепи имеем = 2AK  [1]. При этом для  1 получаем  При условии > 1 приближенно имеем  Например, при  

У системы с ПФ в виде пропорционально-интегрирующей цепи при условии
<  < 2 согласно  имеем:
                    < 2  и < 2

Система ФАПЧ с двумя интеграторами теоретически обладает  Это объясняется следующим. Если петлю системы ФАПЧ разомкнуть, то сигнал ошибки будет иметь вид функции  с нулевой постоянной составляющей. При замкнутой петле обратной связи из-за реакции ГУНа на управляющее напряжение форма сигнала ошибки видоизменяется. (Этот ее вид наблюдается в данной работе). Она перестает быть чисто синусоидальной и у нее появляется постоянная составляющая, знак которой совпадает со знаком начальной расстройки по частоте. Эта составляющая преобразуется интегратором ПФ в линейно-нарастающую во времени компоненту управляющего напряжения  которая и обеспечивает перестройку ГУНа теоретически в бесконечных пределах. Реальная величина полосы захвата у системы с двумя интеграторами определяется ограниченным диапазоном перестройки ГУНа и/или допустимым временем вхождения в синхронизм при такой подстройке.

Для расширения полосы захвата и ускорения процесса захвата в любой из рассматриваемых систем ФАПЧ могут быть приняты дополнительные меры. Одной из них является принудительное сканирование (перестройка частоты ГУНа) в желаемой полосе захвата по пилообразному закону с требуемой скоростью, задаваемому дополнительным источником управляющего напряжения  После захвата сигнала такое напряжение  отключают. При другом варианте в систему ФАПЧ вводят частотный детектор (ЧД), который по результату сравнения частот и формирует дополнительное управляющее напряжение  осуществляющее требуемую перестройку ГУНа. При этом дискриминационная характеристика ЧД охватывает требуемую полосу захвата. (В таком случае говорят, что система ФАПЧ имеет частотно-фазовый детектор ЧФД). На рис. 4 приведен пример структурной схемы такой системы ФАПЧ.

Рис. 4

Действие ЧД в данной схеме поясняется следующими приближенными соотношениями. Выходной сигнал перемножителя  Х6, формируемый из произведения  содержит низкчастотную составляющую, пропорциональную функции  Выходной сигнал ФД пропорционален функции  На выходе дифференциатора Х8 имеем сигнал, пропорциональный функции  На выходе перемножителя Х7 получаем сигнал, пропорциональный функции:

                                
Из этого сигнала, зависящего от начальной разности частот  интегратор  Х9 и образует дополнительное управляющее напряжение  подстраивающее частоту ГУНа в режиме захвата. В режиме синхронизации, когда эта разность обращается в ноль, накопленное выходное напряжение интегратора Х9 поддерживает равенство текущей частоты ГУНа и входного сигнала.