Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.
Я взял произвольное комплексное число z = a + bi и изобразил его в виде радиус-вектора на комплексной плоскости. Пусть N – проекция точки M на действительную ось. В прямоугольном треугольнике OMN длины катетов ON и OM равны соответственно a и b, а длина гипотенузы OM равна . Из тригонометрии известно, что отношение длины катета к длине гипотенузы равняется косинусу прилежащего угла и синусу противолежащего. Следовательно, a = Re z = | z | ∙ cos φ, b = Im z = | z | ∙ sin φ, где φ – аргумент комплексного числа z. Таким образом, z = a + bi = | z | ∙ cos φ + | z | ∙ sin φ ∙ i = | z | ∙ ( cos φ + i sin φ ). Произведение двух комплексных чисел z1 = | z1 | ∙ (cos φ1 + i sin φ1) и z2 = | z2 | ∙ (cos φ2 + i sin φ2) будет равно: z1 ∙ z2 = | z1 | | z2 | (cos φ1 + i sin φ1) (cos φ2 + i sin φ2) = = | z1 | | z2 | ((cos φ1 cos φ2 – sin φ1 sin φ2) + i (sin φ1 cos φ2 + cos φ1 sin φ2)) = = | z1 | | z2 | (cos (φ1 + φ2) + i sin (φ1 + φ2)). При умножении комплексных чисел их модули необходимо перемножить, а аргументы – сложить. При делении необходимо произвести обратные операции: поделить модули и вычесть аргументы. 6 ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА Я возвёл комплексное число z = r ∙ (cos φ + i sin φ) в степень n: zn = rn (cos nφ + i sin nφ). Это выражение назвали формулой Муавра – в честь английского математика Абрахама де Муавра, открывшего её в 1701 г. При n = 1, я получил zn = rn (cosφ + i sinφ)n = rn (cos nφ + i sin nφ). То есть rn (cosφ + i sinφ)n = rn (cos nφ + i sin nφ), или, если разделить на rn ≠ 0: (cosφ + i sinφ)n = (cos nφ + i sin nφ). Этой формулой можно воспользоваться для выражения синусов и косинусов аргумента nφ через синусы и косинусы аргумента φ. Для этого я применил к левой части формулу бинома Ньютона и учёл формулы для степеней числа i. Получается, что Отсюда следуют равенства Суммирование ведётся до тех пор, пока показатель при cos φ не обратится в 0 или в 1 (в зависимости от чётности n). Поскольку в выражение для cos nφ входят лишь чётные степени sin φ, то их можно выразить лишь через cos φ. Для sin nφ при нечётном n можно получить выражение лишь через sin φ, а при чётном n – в виде произведения cos φ на выражение от sinφ. Извлечение корня из комплексного числа. Как и для действительных чисел, корнем n-й степени из комплексного числа z, где n – натуральное число, называют такое комплексное число w, что wn = z. Корень n-й степени из z обозначают . Я приведу доказательство, что из любого комплексного числа z можно извлечь корень n-й степени, причём если z ≠ 0, то принимает n различных значений. Я записывал числа в тригонометрической форме. Пусть z = r (cos φ1 + i sin φ1). Число w я искал в виде w = R (cos φ2 + i sin φ2). Равенство wn = z принимает вид: Rn (cos nφ2 + i sin nφ2) = r (cos φ1 + i sin φ1). Но два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются лишь слагаемым, кратным 2π. Значит, Rn = r, nφ = φ + 2πk, kZ. итак, для модуля R искомого числа я получил определённое значение. Что же касается аргумента φ этого числа, он может принимать различные значения в зависимости от значения числа k. Я выяснил, при каких значениях k1 и k2 получаются значения φ, отличающиеся друг от друга на кратное 2π (т. е. одинаковые значения w). Для этого разность должна быть кратна 2π. Это имеет место тогда и только тогда, когда k1 – k2 делится на n. Отсюда следует, что при r ≠ 0 значениям k = 0, 1, …, n – 1 соответствуют различные значения корня, а k = n даёт то же значение корня, что и при k = 1 и т. д. Число различных значений корня равно n. Таким образом, я доказал утверждение: Теорема. Для любого натурального числа n и любого отличного от нуля комплексного числа z существуют n различных значений корня n-й степени. Если z = r (cos φ + i sin φ), то эти значения выражаются формулой , где k = 0, 1, …, n – 1. Все точки wk лежат на окружности радиусом с центром в начале координат. Аргументы соседних точек отличаются на , а потому указанные точки делят окружность на n равных частей. Иными словами, они являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в эту окружность.
7 ЗАКЛЮЧЕНИЕ В общем, я считаю, что цель и задача моего проекта выполнены. Я сам освоил тему и создал наглядное пособие, чтобы облегчить учащимся её изучение и проверку усвоения материала. В ходе исследования я изучил много литературы по данной теме, общался с научным работником, который занимается этой темой профессионально и т.д. В ходе чтения разных книг я отметил для себя наиболее интересные, простые и красивые доказательства теорем по этой теме, одновременно стараясь изложить их в своём свете, так, как я считаю наиболее рациональным. К достоинствам моего учебника можно отнести краткость и простоту изложения, объединение знаний о комплексных числах воедино, доступность. Я считаю мой учебник полезным и актуальным для тех учеников, которые хотят узнать больше школьной программы, для тех из них, кто планирует учиться в техническом ВУЗе и в дальнейшем работать по технической специальности. В ходе исследования я провёл элективный курс для учащихся 11 Б класса прошлого года (25 человек) из 5 занятий и после этого проверил успеваемость и степень усвоения материала. Результат можно видеть на диаграмме:
Из программы средней школы тема "Комплексные числа" исключена, но в гимназии существует элективный курс "Дискретная математика", составной частью которого являются комплексные числа. Моё пособие будет хорошим подспорьем учителям в ходе преподавания, а также всем желающим самостоятельно изучить данный раздел математики. 8 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Математика. Энциклопедия для детей под редакцией М. Д. Аксёновой. – Москва-2000. 2. Алгебра и математический анализ для 11 класса под редакцией Н. Я. Виленкина. – Москва-1996. 3. История математики в школе под редакцией Г. И. Глейзер. – Москва-1983. 4. Избранные вопросы математики под редакцией И. Н. Антипова. – Москва-1979. 5. За страницами учебника математики под редакцией Н. Я. Виленкина. - Москва-1996.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (251)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |