Метод индексов Гиттинса

Рассмотрим общую не Марковскую формулировку динамического распределения (либо "многорукого-бандита") проблем в дискретном времени: существуют D-независимые "проекты" (или "руки") только один из которых может быть вовлечен в данное время, в то время как остальные остаются "замороженными". Вовлекая проект мы получаем определенное случайное вознаграждение, зависящее от времени и истории вовлекаемого проекта. Целью является максимизация общего ожидаемого дисконтированного вознаграждения за "infinite horizon". Как же оптимально составить график вовлечения различных "рук"?

  Подобного рода вопросы являлись открытыми на протяжении длительного периода времени, как минимум с 1940х, пока Гиттинс и его соратники не внесли фундаментальный вклад в 1970х, что привело к реальному прорыву. Работая в Марковской рамке эволюции заданных независимых проектов, Гиттинс продемонстрировал, что это возможно приписать каждому проекту определенный индекс для его доходности, исчислимый только в рамках динамики проекта и вовлекать проект с максимальным индексом. Виттл предоставил элегантные глубокие и математически четкие демонстрации оптимальности правила Гиттинса; работа Виттла была позднее дополнена работой Цициклиса.

  Эта работа была расширена до общей не Марковской рамки Варайей и Мандлбаумом, которые также предоставили формулировку вопроса как контрольные проблемы с временным параметром в многомерном частично упорядоченном наборе. Аргументы и доказательства в обеих работах, тем не менее, очень длинные и взыскательные.

Индексом Гиттинса для последовательности доходов называется число, рассчитываемое по формуле:

где,   - средний ожидаемый доход от реализации стадии проекта, когда n предшествующих ей стадий уже реализовано, β – коэффициент дисконтирования.

Экономическая интерпретация

Для последовательности доходов индекс Гиттинса показывает наибольший из возможных, средний переоцененный доход за одну единицу переоцененного времени, равную базовой стадии, для фрагментов последовательности, являющихся частью основной последовательности доходов и начинающихся с первой стадии.

Индексное правило заключается в том, что оптимальная стратегия на каждом шаге выбирает стадию и проект, который имеет наибольший индекс Гиттинса.

Условные моменты остановки

Если имеется проект с доходами {xi, i = 0,1,…} и инвестор намеревается инвестировать фрагмент {x0, xi ,…x  }этапов проекта на который приходится наибольшая возможная интенсивность потока доходов, то момент остановки инвестирования он бы выбрал из множества

Максимальный из элементов указанного выше множества То моментов остановки является максимальным моментом остановки.

Другими словами, при конечной последовательности доходов  момент  определяет наибольшую длительность фрагмента вида  на котором «генерируется» максимально возможная для всего проекта интенсивность потока доходов.

Максимальный момент остановки  для остатка  исходной конечной последовательности после того, как она уже была «выбрана» n раз определяется равенством

 

 

Т.е. если начальный фрагмент  уже «выбран» из конечной последовательности доходов , то для остатка последовательности  момент определяет наибольшую длительность фрагментов вида  указанного остатка последовательности, на котором интенсивность потока переоцененных доходов будет максимально возможной.

Основные свойства

· Каждое отдельное выражение под знаком супремума в определении индекса Гиттинса Go,(выражение Ik вида

)

указывает интенсивность потока доходов на соответствующем начальном фрагменте длительности k, т.е. фрагменте  исходной последовательности. Такой фрагмент эквивалентен фрагменту платежей - констант такой же длительности.

· Для последовательностей – констант индексы Гиттинса равны соответствующей константе, причем для конечной такой последовательности максимальный момент ее остановки равен длине последовательности.

· Для невозрастающих последовательностей индексы Гиттинса Gn равны членам последовательности с соответствующими номерами Gn = Xn. Для максимальных моментов остановки выполняется:

· Для неубывающих конечных последовательностей индексы Гиттинса достигаются на последних выражениях под знаком супремума. При этом, максимальные моменты остановки равны числу членов последовательности, т.е. совпадают с ее длительностью.

Дополнительное упрощающее правило

Начальный фрагмент  исходной последовательности называют несущественным, если последний член Xk такого фрагмента оказывается меньше, чем значение.

Можно не рассматривать такие выражения

под знаком супремума в определении индекса Гиттинса числовой последовательности, которым соответствуют несущественные начальные фрагменты  этой последовательности.

  Чистая приведенная стоимость(NPV)

  Метод основан на сопоставлении величины исходной инвестиции с общей суммой дисконтированных чистых поступлений, генерируемых ею в течении прогнозируемого срока. Т.к. поступление денежных средств распределено во времени, то оно дисконтируется с помощью коэффициента r, который самостоятельно устанавливается инвестором исходя из процента возврата, который он хочет или может иметь на инвестируемый капитал.

  Расчет значения NPV предполагает прогноз по каждому году функционирования проекта чистого денежного потока; обоснование ставки дисконтирования, которая обеспечит приведение будущих потоков по годам к текущему моменту. Ставка дисконтирования должна отражать временную стоимость денег, инфляционные ожидания и риск инвестирования в данный проект.

Очевидно, что если: NPV>0, то проект следует принять;

  NPV<0, то проект отвергают;

  NPV=0 - проект ни прибыльный, ни убыточный.

  При прогнозировании доходов необходимо учитывать все виды поступлений, связанные с проектом. Например, если по окончании периода реализации проекта планируется поступление средств в виде ликвидационной стоимости оборудования или высвобождения части оборотных средств, они должны учитываться как доходы соответствующих периодов.

  Правило метода NPV гласит, что из двух альтернативных проектов с равными инвестиционными затратами выбирается тот, который обеспечивает наибольшее значение NPV.

  В практике анализа инвестиционных проектов находят применение два подхода к выбору проектов с неравными сроками: метод продолженного срока и метод эквивалентного ежегодного аннуитета.

Метод продолженного срока предполагает возможность повторного осуществления проектов и использование критерия выбора NPVпо самому большому значению для многоразового осуществления проектов.

Метод продолженного срока предполагает нахождение наименьшего общего кратного для числа лет функционирования двух или нескольких оцениваемых проектов; расчет NPV многоразового осуществления каждого проекта на продолженном сроке NPV( i, n), где i – срок функционирования проекта, n – число осуществлений проекта, продолженный срок равен произведению in; выбор проекта с наибольшим NPV.           

Метод эквивалентного ежегодного аннуитета предполагает расчет NPVпо каждому проекту с индивидуальным сроком функционирования; нахождение денежного потока в виде аннуитета, который на индивидуальном сроке функционирования i обеспечивал бы то же значение NPV. Правило метода – проект с более высоким эквивалентным аннуитетом для любого срока функционирования обеспечит более высокое значение NPV и этот проект будет предпочтительнее. Анализ может быть продолжен расчетом NPV по каждому проекту для бесконечного аннуитета. Если Х – чистый денежный поток по аннуитету, то NPV бессрочного аннуитета равен Х/к, где к – стоимость капитала. Правило метода – наибольшее значение NPV для бессрочного аннуитета характеризует лучший проект.

  Показатель NPV отражает прогнозную оценку изменения экономического потенциала предприятия в том случае, когда принимают рассматриваемый проект.

Этот показатель аддитивен во времени, т.е. NPV различных проектов можно суммировать. Это очень важное свойство, выделяющее этот критерий в качестве

основного при анализе оптимальности инвестиционного портфеля.

  Область применения и трудности NPV-метода.

  При помощи NPV-метода можно не только определить эффективность проекта, но и рассчитать ряд дополнительных показателей. Такая обширная сфера применения NPV-метода дала ему широкое распространение - в наши дни он является основным методом расчета эффективности инвестиций. Однако его применение возможно, только при соблюдении ряда условий:

  - Объем денежных потоков в проекте должен быть оценен для планового периода и привязан к определенным периодам

  - Денежные потоки должны рассматриваться отдельно от производственной деятельности, т.е. характеризовать платежи и поступления только данного проекта

  - Принцип дисконтирования подразумевает возможность неограниченного привлечения средств поставке дисконта

  - Использование метода для сравнения эффективности нескольких проектов подразумевает использование единой ставки дисконта и единого временного интервала

  *При расчете NPV используется постоянная ставка дисконтирования, но в зависимости от обстоятельств, например, ожидается изменение уровня процентных ставок,

ставка дисконтирования может дифференцироваться по годами.

 

В качестве примера будет рассмотрен современный складской комплекс.

Склад предоставляет следующий комплекс услуг:

· погрузочные и разгрузочные работы;

· обслуживание грузового крупнотоннажного автотранспорта;

· обслуживание легкого грузового автотранспорта;

· ж/д ветка;

· срочная аренда площадок (площадки в аренду);

· современные склады холодильники;

· ответственное хранение;

· ветеринарные услуги;

· аккредитация на хранение российских и импортных продуктов питания.

Инфраструктура склада включает в себя:

· транспортная доступность;

· центральное отопление;

· канализация;

· центральное водоснабжение;

· до 2-х киловатт электрической мощности;

· огороженная территория по круглосуточной охраной;

· пропускной охранный режим;

· прием крупнотоннажного грузового авто транспорта;

· прием легкого грузового авто транспорта;

· ж/д ветка;

· погрузка и разгрузка вагонов;

· пандус главного склада;

· помещения для офисов;

· телефоны;

· интернет;

· площадки для личного авто транспорта;

· площадки для грузового авто транспорта;

 

Схема расположения складских площадей

 

 

Инвестиции в дальнейшее развитие

· Построение терминала класса «А» . Склад высотного хранения площадью,8 тыс. м2 :первый уровень будет функционировать для осуществления переупаковки и хранения особо ценных товаров, а на втором будут офисные помещения.

Потолки в высоту  составят 15 м, что позволит использовать многоярусную систему стеллажей. Предполагается строительство семи ворот , которые дадут возможность принимать разные виды транспорта.

инвестиции – 10 млн долл

 

· Расширение склада «6», и реконструкция имеющейся площади.

Новая площадь составит 10 тыс. м2

Инвестиции – 6 млн долл

 

 

Итак, существует программа реализации двух проектов, для условности обозначим их как А, Б.

В соответствии с требованиями метода индексов Гиттинса, каждый проект далее представлен доходами по их различным этапам. Длительность каждого этапа составит одно полугодие.

 

стоимость выполнения работ
Проект	стадии проектов
	1	2	3	4	5	6	7	8
А	2078960	1403596,7	1306454	709857	617550	1456830	1678529	748224
Б	1262740	1683840	790560	832518	772500	657842

 

Прибыль от выполнения 1- 15%, 2 этапа - 8%, 3,4 ,5,6 - 10%, 7,8 - 12%

Прибыль от выполнения 1, 2 этапа - 12%, 3,4 - 13%, 5,6 - 15%

 

Доходы
Проект	стадии проектов
	1	2	3	4	5	6	7	8
А	311844	112287,736	130645	70986	61755	145683	201423	89787
Б	151529	202061	102773	108227	115875	98676

 

х0	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	Индексы Гиттинса	Максимальный момент остановки
311844	112287,736	130645,4	70985,7	61755	145683	201423,48	89786,8464	311844	7
311844	217317,349	191411,7	165883,77	149200,7	148757,4	154122,29	148719,366
	112287,736	130645,4	70985,7	61755	145683	201423,48	89786,8464	120983,4517	2
	112287,736	120983,5	106039,47	96652,04	104507,6	116721,17	113977,461
		130645,4	70985,7	61755	145683	201423,48	89786,8464	130645,358	1
		130645,4	102385,52	90241,34	101993,9	117924,08	114378,152
			70985,7	61755	145683	201423,48	89786,8464	113813,9421	4
			70985,7	66613,26	90246,65	113813,94	109964,42
				61755	145683	201423,48	89786,8464	131373,697	3
				61755	101510,4	131373,7	122558,107
					145683	201423,48	89786,8464	172086,3853	2
					145683	172086,39	147487,63
						201423,48	89786,8464	201423,48	1
						201423,48	148542,969
							89786,8464	89786,8464	1
							89786,8464

 

 

х0	х1	х2	х3	х4	х5			Индексы Гиттинса	Максимальный момент остановки
151529	202061	102773	108227	115875	98676			175465	2
151529	175465,023	153737,8	144090,5	139569,9	134416,4
	202061	102773	108227	115875	98676			202061	1
	202061	155029,6	141040,76	135706,1	129773,3
		102773	108227	115875	98676			108500	3
		102773	105356,53	108500,4	106417,9
			108227	115875	98676			111850	2
			108227	111849,9	107912,4
				115875	98676			115875	1
				115875	107728,2
					98676			98676	1
					98676

 

3	4	5	7	8
191411,7	70986	61755	172086,4	89787
2	5	6
175465	108500,4	98676

 

А1,А2,А3,Б1,Б2,Б3,Б4,Б5,Б6,А4,А5,А6,А7,А8

Как итог, мы можем сделать вывод о том, что используя метод индекса Гиттинса удалось ранжировать последовательность выполнения инвестиционных проектов таким образом, чтобы в итоге получить максимальный доход. Это доказывают показатели NPV, рассчитанные с учетом и без учета ранжирования.

NPV(до ранжирования)= 1152326

NPV(после ранжирования)= 1372100

Разница составит - 219773,8 млн. долл.

 

 

Список литературы:

1.Курс лекций и учебно – методические материалы по дисциплине «Экономико – математические методы и модели в логистике» Бродецкий Г.Л. Москва,2010 г.

2. Курс лекции по дисциплине «Финансовый менеджмент». Байбурина Э.Р. Москва, 2010 г.

3. «Финансовый менеджмнт: управление капиталом и инвестициями». Т.В.Теплова,Москва, 2000 г.

4. General Gittins index processes in discrete time, Nicole El Karoui, Ioannis Karatzas

5.Multi – armed Bandit Problems with Dependent Arms, Sandeep Pandey, Deepayan Chakrabarti, Deepak Agarwal

6. Four Proofs of Gittins’ Multiarmed Bandit Theorem, Esther Frostig, Gideon Weiss, 1999.