Метод отделения корней

Содержание

 

Введение

1. Постановка задачи

2. Метод отделения корней

2.1. Графический метод

2.2. Аналитический метод

3. Метод уточнения корней

3.1 Метод половинного деления

3.2 Метод последовательных приближений

3.3 Метод Ньютона

4. Анализ результатов

Заключение

Список используемой литературы

 

Введение

 

Существует значительное число различных программных продуктов (Mathcad, Excel и т.д.), с помощью которых можно решать различные математические задачи.

MathCAD – программа для выполнения инженерных и научных расчётов. Рабочая область программы представляется как обыкновенный лист, на котором уравнения и выражения отображаются графически, а не в текстовом виде. Несмотря на то, что данная программа ориентирована на пользователей, мало знакомых с программированием, она всё же находит применение в достаточно сложных проектах для визуализации результатов математического моделирования с использованием распределённых вычислений и традиционных языков программирования. Также Mathcad часто используется в крупных инженерных проектах, где большое значение имеет трассируемость и соответствие стандартам.

Excel - пожалуй, самая популярная сегодня программа электронных таблиц. Ею пользуются деловые люди и ученые, бухгалтеры и журналисты. С ее помощью ведут разнообразные списки, каталоги и таблицы, составляют финансовые и статистические отчеты, обсчитывают данные каких-нибудь опросов и состояние торгового предприятия, обрабатывают результаты научного эксперимента, ведут учет, готовят презентационные материалы. Для ведения домашней бухгалтерии Excel тоже вполне подходит.

Pascal - высокоуровневый язык программирования общего назначения. Один из наиболее известных языков программирования, широко применяется в промышленном программировании, а также очень часто в обучении программированию в высшей школе, является базой для большого числа других языков. Был создан Никлаусом Виртом в 1968-69 годах.

 

Постановка задачи

 

Нам дано уравнение , нужно найти корни этого уравнения на интервале x [1;3], с шагом h=0,2. Точные значения корней уравнения можно найти лишь в простейших случаях таких как (ax2+bx+c=0; cos(x)=a и т.д.). В нашем случае это вызывает затруднения. Кроме того, коэффициенты некоторых уравнений есть приближённые числа, поэтому нельзя говорить о нахождении точных коней.

Будем считать что наше уравнение  имеет только действительные корни. Тогда нахождение этих корней с заданной точностью необходимо проводить в два этапа:

1. Отделение корней, т.е. нахождение достаточно малых промежутков, в которых содержится только один корень уравнения; Методы отделения корней весьма удобны и просты. Однако они дают только ответ на вопрос локализации корня и позволяют найти его грубое приближённое значение. В методы отделения корней входят графический метод, т.е построение графика функции y= f(x) и аналитический метод.

2. Уточнение каждого из отдельных корней, т.е определение их с заданной точностью. В нашем случае это точность E=0.001. Данные методы уточнения используется для нахождения более точного значения корня. Это такие методы как: Метод половинного деления, метод последовательных приближений и метод Ньютона.

В данной курсовой работе все методы будут выполнены в специальных программах таких как: Excel, MathCAD и на языке программирования высокого уровня Pascal.

 

Метод отделения корней

Графический метод

 

Графический метод основан на построении графика функции y=f(x). Он может быть реализован в два способа. Корнем уравнения будет отрезок оси абсцисс, содержащий точку пересечения графика с этой осью. Во втором способе исходную функцию можно представить в виде двух более простых функций f(x)=g(x)-g1(x) и строить два графика.

 

 

Реализация графического метода в пакете Excel.

Реализация графического метода в пакете MathCAD.

Таким образом, искомый корень уравнения находится на отрезке [1,8;2]

 

Аналитический метод

 

Блок-схема

 

 

Ø Pascal.