Симметрия. Элементы симметрии.

Симметрия :

В переводе на русский означает соразмерность. Симметричная фигура должна состоять из закономерно повторяющихся равных частей. В основе представления о симметричных фигурах лежит понятие о равных частях. Две фигуры называются взаимно равными, если для каждой точки одной фигуры имеется соответственная точка другой фигуры, причем расстояние между двумя соответственными точками одной фигуры равно расстоянию между двумя соответственными точками другой. Эта формулировка справедлива для равных частей одной и той же фигуры. В кристаллографии являются равными не только такие совместимо-равные фигуры, но также фигуры, относящиеся друг к другу как предмет и его зеркальное отражение. Следует сказать, что при изучении симметрии и геометрии реальных кристаллов необходимо основываться на углах между гранями.

Элементы симметрии:

Для уточнения понятия об указанной закономерности пользуются воображаемыми вспомогательными образами (точками, прямыми, плоскостями), относительно которых правильно повторяются равные части фигур. Такие образы носят название элементов симметрии. Элементами симметрии называются вспомогательные геометрические образы (точки, прямые, плоскости), с помощью которых обнаруживается симметрия фигур.

Оси симметрии. Центр инверсии. Плоскость симметрии. Зеркальные оси.

Ось симметрии

Осью симметрии называется прямая линия, вокруг которой несколько раз повторяются равные части фигуры. При этом эти части расположены так, что путем поворота фигуры вокруг оси симметрии на некоторый определенный угол фигура занимает в пространстве то же положение, которое она занимала и до поворота, только на место одних ее частей становятся другие равные им части. При этом говорят, что фигура совмещается сама с собой.

Элементарный угол поворота любой оси симметрии кратен 360 градусам. α = 360/n

Порядок оси симметрии (n) отвечает числу, показывающему, сколько раз элементарный угол поворота содержится в 360 градусах. Одновременно порядок оси дает число совмещений фигуры самой с собой при полном повороте вокруг данной оси.

При n = 1 α = 360

  n = 2 α = 180

  n = 3 α = 120

  n = 4 α = 90

  n = 5 α = 72

  n = 6 α = 60 и т.д.

В решетчатых системах, а значит и в кристаллах невозможны оси 5-го порядка и порядка выше шести.

В кристаллах возможны оси симметрии первого, второго, третьего, четвертого и шестого порядков.

Среди сложных инверсионных и винтовых осей имеют место оси аналогичных порядков. Сформулированное положение является важнейшим кристаллографическим законом – законом симметрии.

Выходы осей симметрии приурочены к тем точкам, вокруг которых равные части фигуры повторяются несколько раз. Такие точки расположены либо в центрах граней, либо в вершинах. Для двойных граней – в центрах ребер. Оси симметрии обозначаются латинской буквой L_n, где n – порядок оси симметрии

Центр инверсии:

По Е.С. Федорову центром инверсии называется точка, лежащая на пересечении нескольких осей или плоскостей симметрии, характеризующаяся тем, что любая проведенная через нее прямая по обе стороны от нее и на равных расстояниях встречает одинаковые (соответственные) точки фигуры.

При наличии центра инверсии каждой грани отвечает другая грань равная и параллельная (обратно параллельная) первой.

Центр инверсии обозначается буквой С.

Плоскость симметрии:

Плоскостью симметрии называется такая плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части, расположенные относительно друг друга как предмет и его зеркальное отражение. При нахождении плоскостей симметрии мысленно рассекаем заданный многогранник плоскостью, проходящей через его центр. Если представить эту плоскость в виде двустороннего зеркала, то отраженная в нем левая часть своими точками совместится с правой. И при отражении правой части, последняя совмещается с левой частью. Многогранник должен совместится сам с собой.

Плоскости симметрии проходят вдоль середины граней и ребер перпендикулярно им, или же идут вдоль ребер, образуя равные углы с одинаковыми гранями и ребрами.

При подсчете количества плоскостей симметрии в исследуемой фигуре нужно держать ее в одном положении, для того, чтобы одну плоскость не сосчитать несколько раз.

Плоскость симметрии обозначается буквой Р.

Зеркальная плоскость симметрии – плоскость, отражаясь в которой как в двустороннем зеркале правая фигура (часть фигуры) совмещается с левой; таким образом , фигуры, связанные плоскостью симметрии, относятся друг к другу как предмет и его зеркальное отражение.

Зеркальная плоскость симметрии обозначается в символике Браве буквой Р; графически плоскость симметрии изображается обычно двойной линией.

13) Реальный и идеальный кристалл. Факторы, определяющие морфологию. Зонально-секториальное строение кристаллов.

Реальный кристалл – кристалл, образование которого неразрывно и тесно связано с физико-химическими условиями при кристаллизации в природных условиях. К этим условиям можно отнести: концентрацию вещества-генератора, условия доступа минералообразующего вещества к той или иной грани кристалла, взаимоотношения со смежными кристаллами, химический состав минералообразуещей среды, наличие примесей, термобарические параметры и т.д. От идеального реальный кристалл отличает то, что в природе кристаллы редко бывают правильной формы, не всегда развиваются те или иные просты формы, часты дефекты.

О. Браве предположил, что грани кристалла растут со скоростями, обратно пропорциональными плотностям их узловых сеток – ретикулярным плоскостям граней.

На поверхности кристалла между частицами действуют два типа сил: тангенциальные (между частицами в атомарном слое) и нормальные (между слоями). В сетках, где тангенциальные силы преобладают над нормальными скорость роста невелика. Грани с наибольшей ретикулярной плотностью ограняют кристалл.

Вдоль определенных кристаллографических направлений цепями располагаются отрезки определенной длины, которая зависит от расстояния между частицами. Такие отрезки называют периодическими цепями связи (ПЦС). Скорость роста грани кристалла тем меньше, чем меньше ПЦС.

Скорость, с которой грань перемещается за единицу времени в перпендикулярном направлении, называется нормальной скоростью роста.

Огранка кристалла определяется медленно растущими гранями, а сама форма кристаллов – это поверхность скоростей роста кристалла в данных конкретных условиях. Правило Кюри-Вульфа: наиболее развитыми на поверхности кристалла гранями являются грани с наименьшими скоростями роста.

Концентрационный поток – конвекционная струя, образовавшаяся по причине падения концентрации кристаллизуемого вещества вблизи поверхности образующегося кристалла, раствор из более отдаленной от кристалла области путем конвекции транспортируется к граням растущего кристалла.

Тепловые конвекционные потоки – обуславливаются выделением-поглощением тепла, сопровождающим кристаллизацию-растворение.

С позиций симметрии морфология кристалла рассматривается с позиций взаимосвязи симметрии кристалла с симметрией среды, в которой он развивается. По этому поводу можно сказать, что любой развивающийся объект (растущий кристалл) сохраняет лишь те элементы симметрии, которые остаются общими как для него, так и для питающего раствора (и вообще среды), в котором он развивается.

Онтогения – история развития кристалла. Типоморфные признаки – признаки, указывающие на историю развития кристалла.

Пирамиды роста – секторы роста. Основание грани кристаллов, а вершина – точка, совпадающая с точкой начала кристаллизационного процесса. Неравномерное распределение примесей по пирамидам роста приводит к секториальному строению кристалла.

Зональное строение приобретается кристаллом в том случае, если условия роста менялись периодически. Например – полихромный турмалин.

15)Кристаллографические координатные системы .

Изначально следует сказать, что Декартова Система Координат не применима для учета симметрии кристаллов, даже если она правая.

Кристаллографические системы координат отличаются от декартовой, во первых, углами наклона, а во вторых, эквивалентностью выбираемых направлений.

Для описания положения точки в анизотропной среде, построенной по принципу пространственной решетки, оси координат выбираются параллельно трем пересекающимся рядам решетки.

Кристаллографическая координатная система характеризуется углами между осями координат и линейными направлениями, соответствующими расстояниям между двумя ближайшими узлами рядов, выбранных в качестве координатных осей.

Геометрия координатного репера соответствует геометрии элементарного параллелепипеда решетки, который называется элементарной ячейкой.

Угловые и линейные характеристики элементарной ячейки (параметры элементарной ячейки) определяют параметры координатного репера.

16) Сингонии.

Сингонией называется группа видов симметрии, обладающих одним или нескольким сходными элементами симметрии (с обязательным учетом осей симметрии выше второго порядка) при одинаковом количестве единичных направлений.

В кристаллографии различают всего семь сингоний: триклинную, моноклинную, ромбическую, тригональную, тетрагональную, гексагональную, кубическую. Первые три отвечают низшей категории. Последующие три – средней. Кубическая сингония формирует высшую категорию.

Триклинная сингония – все направления единичны, отсутствуют как оси, так и плоскости симметрии. Может присутствовать только один центр симметрии.

Моноклинная сингония – множество единичных направлений и множество симметрично равных. Из элементов симметрии имеется либо одна плоскость, либо ось симметрии второго порядка. Либо при наличии взаимно перпендикулярных двоичной оси и плоскости симметрии, появляется центр инверсии. Единичные направления лежат или в плоскости симметрии, или в плоскости перпендикулярной к двоичной оси, а также совпадают с двоичной осью или с нормалью к плоскости. Каждому направлению неортогональному к двоичной оси или плоскости соответствует симметрично равное направление.

Ромбическая сингония – три единичных направления, совпадающие с двоичными осями или нормалями к плоскостям. В отличие от моноклинной сингонии один или несколько элементов удвоены или утроены.

Тригональная сингония – с единичным направлением совпадает единственная троичная ось. Косые относительно главной оси симметрично равные направления. Аналогично с тетрагональной и гексагональной сингонией. Симметрично равные направления повторяются по меньшей мере три, четыре и шесть раз соответственно.

Кубическая сингония. Обязательно имеем четыре оси третьего порядка.