КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СИСТЕМАМИ СЛАБО НОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП

 

 

Исполнитель:

Студент группы М-32 Макарченко А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент Малинковский М.Т.

 

 

Гомель 2007

Содержание

 

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

1. Определение и общие свойства слабо нормальных подгрупп

2. Конечные группы со слабо нормальными подгруппами

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

 

Перечень условных обозначений

 

В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными.

Будем различать знак включения множеств  и знак строгого включения ;

 и  - соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

 - пустое множество;

 - множество всех  для которых выполняется условие ;

 - множество всех натуральных чисел;

 - множество всех простых чисел;

 - некоторое множество простых чисел, т.е. ;

 - дополнение к  во множестве всех простых чисел; в частности, ;

примарное число - любое число вида ;

Пусть  - группа. Тогда:

 - порядок группы ;

 - порядок элемента  группы ;

 - единичный элемент и единичная подгруппа группы ;

 - множество всех простых делителей порядка группы ;

 - множество всех различных простых делителей натурального числа ;

-группа - группа , для которой ;

-группа - группа , для которой ;

 - подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;

 - подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;

 - наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;

 - коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;

 - -ый коммутант группы ;

 - наибольшая нормальная -подгруппа группы ;

 - -холловская подгруппа группы ;

 - силовская -подгруппа группы ;

 - дополнение к силовской -подгруппе в группе , т.е. -холловская подгруппа группы ;

 - группа всех автоморфизмов группы ;

 -  является подгруппой группы ;

 -  является собственной подгруппой группы ;

 -  является максимальной подгруппой группы ;

нетривиальная подгруппа - неединичная собственная подгруппа;

 -  является нормальной подгруппой группы ;

 - подгруппа  характеристична в группе , т.е.  для любого автоморфизма ;

 - индекс подгруппы  в группе ;

;

 - централизатор подгруппы  в группе ;

 - нормализатор подгруппы  в группе ;

 - центр группы ;

 - циклическая группа порядка ;

 - ядро подгруппы  в группе , т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с  в .

Если  и  - подгруппы группы , то:

 - прямое произведение подгрупп  и ;

 - полупрямое произведение нормальной подгруппы  и подгруппы ;

 -  и  изоморфны.

Группа  называется:

примарной, если ;

бипримарной, если .

Скобки  применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

 - подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .

, где .

Группу  называют:

-замкнутой, если силовская -подгруппа группы  нормальна в ;

-нильпотентной, если -холловская подгруппа группы  нормальна в ;

-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;

-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой;

нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;

метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа  группы  такая, что  нильпотентна.

разрешимой, если существует номер  такой, что ;

сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.

Группа Шмидта - это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.

Добавлением к подгруппе  группы  называется такая подгруппа  из , что .

Минимальная нормальная подгруппа группы  - неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы .

Цоколь группы  - произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы .

 - цоколь группы .

Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:

 - класс всех групп;

 - класс всех абелевых групп;

 - класс всех нильпотентных групп;

 - класс всех разрешимых групп;

 - класс всех -групп;

 - класс всех сверхразрешимых групп;

Формации - это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.

Пусть  - некоторый класс групп и  - группа, тогда:

 - -корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп  из , для которых . Если  - формация, то  является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если  - формация всех сверхразрешимых групп, то  называется сверхразрешимым корадикалом группы .

Формация  называется насыщенной, если всегда из  следует, что и .

Класс групп  называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что  следует, что и каждая подгруппа группы  также принадлежит .

Произведение формаций  и  состоит из всех групп , для которых , т.е. .

Пусть  - некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа  группы  называется -абнормальной, если .

Подгруппы  и  группы  называются перестановочными, если .

Пусть  - максимальная подгруппа группы . Нормальным индексом подгруппы  называют порядок главного фактора , где  и , и обозначают символом .

Пусть  - группа и  - различные простые делители порядка группы . Тогда группа  называется дисперсивной по Оре, если существуют подгруппы , такие что  - силовская -подгруппа группы  и подгруппа  нормальна в  для всех .

 

Введение

 

В своей работе Оре рассмотрел два обобщения нормальности, оба из которых вызывают неослабевающий интерес у исследователей и в наши дни. Во-первых, в работе были впервые введены в математическую практику квазинормальные подгруппы: следуя, мы говорим, что подгруппа  группы  квазинормальна в , если  перестановочна с любой подгруппой из  (т.е.  для всех подгрупп  из ). Оказалось, что квазинормальные подгруппы обладают рядом интересных свойств и что фактически они мало отличаются от нормальных подгрупп. Отметим, в частности, что согласно, для любой квазинормальной подгруппы  имеет место , а согласно, квазинормальные подгруппы - это в точности те субнормальные подгруппы группы , которые являются модулярными элементами в решетке всех подгрупп группы .

Понятно, что если подгруппа  группы  нормальна в , то в  всегда найдется такая подгруппа , что выполнено следующее условие:

 

 

Таким образом, условие  является еще одним обобщением нормальности. Такая идея также была впервые рассмотрена в работе, где в частности, было доказано, что: Группа  является разрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы удовлетворяют условию  . В дальнейшем, в работе подгруппы, удовлетворяющие условию  были названы -нормальными. В этой же работе была построена красивая теория -нормальных подгрупп и даны некоторые ее приложения в вопросах классификации групп с заданными системами подгрупп.

В данной диссертационной работе мы анализируем следующее понятие, которое одновременно обобщает как условие квазинормальности, так и условие -нормальности для подгрупп.

Определение. Подгруппа  группы  называется слабо квазинормальной в  подгруппой, если существует такая подгруппа  группы , что  и ,  - квазинормальные в  подгруппы.

Следующий простой пример показывает, что в общем случае слабо квазинормальная подгруппа не является ни квазинормальной, ни -нормальной.

Пример. Пусть

 

,

 

где . И пусть , . Тогда  и . Пусть  - группа простого порядка 3 и , где  - база регулярного сплетения . Поскольку ,  и  - модулярная группа, то  квазинормальна в  и поэтому подгруппа  слабо квазинормальна в . Значит, подгруппа  является слабо квазинормальной в , но не квазинормальной и не -нормальной в .

В последние годы значительно возрос интерес к квазинормальным и -нормальным подгруппам, что говорит о несомненной актуальности данного направления. Следует отметить, что многими авторами (Асаад, Бакли, Баллестер-Болинше, Ванг, Вей, Ли, Педра-Агуэла, Рамадан, А.Н. Скиба, Сринивазан и др.) получено большое число теорем связанных с изучением групп, те или иные выделенные системы подгрупп которых -нормальны или квазинормальны. Не смотря на тот факт, что квазинормальность и -нормальность являются вполне различными обобщениями нормальности, в настоящее время получено много аналогичных результатов независимо для квазинормальных и -нормальных подгрупп. В данной работе такой параллелизм устраняется на основе введенного выше понятия слабой квазинормальности.

Таким образом, задача изучения групп с заданной системой слабо квазинормальных подгрупп вполне актуальна, ее реализации посвящена данная работа.