Конечные группы со слабо нормальными подгруппами

 

В данном разделе мы докажем некоторые критерии разрешимых, метанильпотентных, дисперсивных по Оре и сверхразрешимых групп в терминах слабо нормальных подгрупп.

Следующая теорема доказывается аналогично теореме 3.5.1.

Группа  разрешима тогда и только тогда, когда , где ,  - подгруппы группы  такие, что каждая максимальная подгруппа из  и каждая максимальная подгруппа из  слабо нормальны в .

Пусть  - группа тогда следующие утверждения эквивалентны:

(1)  - разрешима;

(2) , где ,  - подгруппы группы  такие, что каждая максимальная подгруппа из  и каждая максимальная подгруппа из  слабо квазинормальны в ;

(3) , где ,  - подгруппы группы  такие, что каждая максимальная подгруппа из  и каждая максимальная подгруппа из  слабо нормальны в .

Группа  метанильпотентна тогда и только тогда, когда , где подгруппа -квазинормальна в ,  - нильпотентна и каждая силовская подгруппа из  слабо нормальна в .

Доказательство. Допустим, что , где  - -квазинормальна в ,  - нильпотентна и каждая силовская подгруппа из  слабо нормальна в . Покажем, что группа  метанильпотентна. Предположим, что это не верно и пусть  - контрпример минимального порядка. Тогда справедливы следующие утверждения.

(1)  не является нильпотентной группой.

Предположим, что  нильпотентна. Так как ввиду леммы (3),  субнормальна, то  содержится в некоторой нильпотентной нормальной подгруппе  из  по лемме (2). Тогда

 

 

нильпотентна и поэтому  метанильпотентна. Полученное противоречие с выбором группы  доказывает (1).

 

(2) .

 

Допустим, что . Тогда ввиду леммы ,  нильпотентна, что противоречит (1). Значит, мы имеем (2).

(3) Если  - абелева минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в , то  метанильпотентна.

Пусть  - -группа и  - силовская -подгруппа в . Тогда  и поэтому по лемме каждая силовская подгруппа из  слабо нормальна в . Поскольку по лемме , -квазинормальна в ,

 

 

то условия теоремы справедливы для . Так как , то ввиду выбора группы ,  метанильпотентна.

(4) Условия теоремы справедливы для  (это проямо следует из леммы ).

(5)  разрешима.

Если , то  метанильпотентна по (4)и выбору группы . Пусть теперь . Предположим, что для некоторой силовской подгруппы  из  мы имеем . Тогда ввиду (3),  разрешима. Пусть теперь  для каждой силовской подгруппы  группы . Тогда по условию каждая силовская подгруппа из  имеет квазинормальной дополнение в  и поэтому  нильпотентна. Полученное противоречие в выбором группы  доказывает (5).

(6) В группе  имеется в точности одна минимальная нормальная подгруппа , содержащаяся в .

Пусть  - минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Тогда  абелева согласно (5), и поэтому ввиду (3),  метанильпотентна. Так как класс всех метанильпотентных групп. Кроме того, так как класс всех метанильпотентных групп является насыщенной формацией (см. ), то  - единственная минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в .

(7) Если -группа, то каждая силовская -подгруппа из , где , имеет квазинормальное дополнение в .

Пусть  - силовская -подгруппа в , где . Тогда ввиду (6), . По условию,  слабо нормальна в  и поэтому  имеет квазинормальную подгруппу , такую что  и

 

 

Заключительное противоречие.

Пусть  - силовская -подгруппа в  и . Тогда

 

 

По условию  имеет квазинормальную подгруппу , такую что  и

 

 

Тогда

 

 

и поэтому  - дополнение для  в , которое является квазинормальной в  подгруппой. Если  - -подгруппа из , где , то ввиду (7),  имеет дополнение в , которое является квазинормальной подгруппой (см. доказательство утверждения (3) леммы ). Тогда по лемме ,  нильпотентна и поэтому  метанильпотентна. Полученное противоречие доказывает метанильпотентность группы .

Обратно, предположим, что  метанильпотентна. Покажем, что каждая силовская подгруппа из  слабо нормальна в . Предположим, что это не верно и пусть  - контрпример минимального порядка. Тогда  имеет силовскую подгруппу , которая не является слабо нормальной в . Пусть  - произвольная минимальная нормальная подгруппа в  и  - подгруппа Фиттинга группы . Предположим, что . Тогда  слабо нормальна в  и поэтому по лемме (1),  слабо нормальна в , противоречие. Значит,  и поэтому

 

 

Так как по условию  метанильпотентна и  - силовская подгруппа в , то  имеет нормальное дополнение  в . Но поскольку  и  - -группы, то  - нормальное дополнение для  в . Следовательно,  слабо нормальна в . Полученное противоречие показывает, что каждая силовская подгруппа из  слабо нормальна в .

Пусть  - группа тогда следующие утверждения эквивалентны:

(1)  - метанильпотентна;

(2) , где подгруппа  субнормальна в ,  - абелева холлова подгруппа в  и каждая силовская подгруппа из  слабо квазинормальна в ;

(3) , где подгруппа -квазинормальна в ,  - нильпотентна и каждая силовская подгруппа из  слабо нормальна в .

Пусть , где подгруппа -квазинормальна в ,  нильпотентна. Предположим, что любая максимальная подгруппа каждой нециклической подгруппы из  слабо нормальна в . Тогда  сверхразрешима.

Доказательство. Предположим, что эта теорема не верна и пусть  - контрпример минимального порядка. Тогда:

(1) Каждая собственная подгруппа  группы , содержащая , сверхразрешима.

Пусть , где . Тогда

 

 

где  нильпотентна и -квазинормальна в . Так как по лемме (2), любая максимальная подгруппа каждой нециклической силовской подгруппы из  слабо нормальна в  и , то по выбору группы  мы имеем (1).

(2) Пусть  - неединичная нормальная подгруппа в . Предположим, что -группа. Допустим, что  содержит силовскую -подгруппу  из , или  циклична, или . Тогда  сверхразрешима.

Если , то

 

 

нильпотентна. Пусть теперь . Так как , то нам только нужно показать, что условия теоремы справедливы для . Ясно, что

 

 

где -квазинормальна в  и  нильпотентна. Пусть  силовская -подгруппа из  и  - произвольная максимальная подгруппа в . Пусть  - силовская -подгруппа из , такая что . Ясно, что  - силовская -подгруппа группы . Значит,  для некоторой силовской -подгруппы  из . Предположим, что  не является циклической подгруппой. Тогда  не циклична. Покажем, что  слабо нормальна в . Если , то это прямо следует из леммы . Допустим, что либо силовская -подгруппа  из  циклическая, либо . Тогда . Покажем, что  - максимальная в  подгруппа. Так как  и , то

 

 

Предположим, что для некоторой подгруппы  из  мы имеем

 

 

где

 

 

Тогда

 

 

Так как  - максимальная в  подгруппа, то либо , либо . Если , то

 

 

что противоречит выбору подгруппы . Значит,  и поэтому мы имеем

 

противоречие. Следовательно,  - максимальная в  подгруппа и по условию  слабо нормальна в . Значит,

 

 

слабо нормальна в . Следовательно, условия теоремы справедливы для .

(3)  и  сверхразрешима.

По выбору группы ,  и поэтому  сверхразрешима согласно (1).

(4)  - разрешимая группа.

По условию -квазинормальна в  и поэтому по лемме (3),  содержится в некоторой разрешимой нормальной подгруппе  группы . Так как группа  нильпотентна, то  разрешима.

(5) Если  - простое число и , то .

Пусть . Тогда ввиду (2),  сверхразрешима. Если  - множество всех простых делителей порядка группы , то по лемме (1), , где  - нормальная -подгруппа группы  и поэтому

 

 

сверхразрешима. Но тогда

 

 

сверхразрешима. Полученное противоречие с выбором группы  доказывает (5).

(6) .

 

Допустим, что . Тогда по лемме ,  нильпотентна. Пусть  - силовская -подгруппа из . Так как ввиду леммы (3)  субнормальна в , то  субнормальна в . Тогда , согласно лемме (1). Но тогда ввиду (2),  сверхразершима и поэтому , по выбору группы . Так как  и

 

 

нильпотентно, то  - силовская -подгруппа из . Пусть  - холлова -подгруппа из  и . По лемме ,  нормальна в  и поэтому . Допустим, что для некоторого простого делителя порядка , отличного от , мы имеем . Тогда  нормальна в  и поэтому  - нормальная подгруппа в , поскольку . Но тогда , что противоречит (5). Следовательно,  и поэтому . Согласно теореме ,  сверхразрешима и поэтому  - абелева группа, экспонента которой делит , согласно леммы . Но тогда  - абелева группа экспоненты, делящей  и поэтому  сверхразрешима, согласно леммы . Полученное противоречие с выбором группы  доказывает (6).

Заключительное противоречие.

Пусть  - минимальная нормальная подгруппа в , содержащаяся в . Пусть  - -группа и  - силовская -подгруппа группы . В силу (2),  сверхразрешима и поэтому  - единственная минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Ясно, что  и . Значит, по лемме для некоторой максимальной подгруппы  из  мы имеем . Ясно, что  и поэтому по условию  имеет дополнение  в , которое является квазинормальной в  подгруппой. Тогда

 

 

и поэтому . Но тогда

 

 

и поэтому, ввиду минимальности , . Ввиду (5),  имеет холлову -подгруппу. Так как в силу леммы (3),  субнормальна в , то каждая холлова -подгруппа группы  содержится в . Следовательно,  - -группа. Отсюда следует, что

 

 

сверхразрешима. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Группа  дисперсивна по Оре тогда и только тогда, когда , где подгруппа  квазинормальна в ,  дисперсивна по Оре и каждая максимальная подгруппа любой нециклической силовской подгруппы группы  слабо нормальна в .

Доказательство. Пусть , где подгруппа  квазинормальна в ,  дисперсивна по Оре и каждая максимальная подгруппа любой нециклической силовской подгруппы группы  слабо нормальна в . Покажем, что группа  дисперсивна по Оре. Предположим, что это не верно и пусть  - контрпример минимального порядка. Тогда:

(1) Каждая собственная подгруппа  группы , содержащая , дисперсивна по Оре.

Пусть , где . Тогда

 

где  дисперсивна по Оре и  квазинормальна в . Так как по лемме (2) любая максимальная подгруппа каждой нециклической силовской подгруппы из  слабо нормальна в  и , то по выбору группы  мы имеем (1).

(2) Пусть  - неединичная нормальная подгруппа в , являющаяся -группа для некоторого простого числа . Допустим, что либо  содержит силовскую -подгруппу  из , либо  циклична, либо . Тогда  дисперсивна по Оре.

Если , то

 

 

дисперсивна по Оре. Пусть теперь . Так как , то нам лишь нужно показать, что условия теоремы справедливы для . Ясно, что

 

 

где  квазинормальна в  и  дисперсивна по Оре. Пусть  силовская -подгруппа из  и  - произвольная максимальная подгруппа в . Пусть  - силовская -подгруппа из , такая что