Арифметика и другие встроенные предикаты в Прологе-Д.

Системы логического программирования, к числу которых относится и Пролог-Д, не предназначены для вычислений. Традиционный для Пролога-Д подход при выполнении арифметических действий описан в упражнении 5 из предыдущего раздела. Однако для определения таким образом всех математических действий памяти компьютера будет недостаточно. Поэтому традиционные действия, связанные с выполнением арифметических операций осуществляются посредством специальных встроенных предикатов. В системе Пролог-Д для выполнения арифметических действий предусмотрен один встроенный арифметический предикат: УМНОЖЕНИЕ(Арг1,Арг2,Арг3,Арг4) Встроенный предикат УМНОЖЕНИЕ имеет четыре аргумента: целых, переменных, конкретизированных целыми, не конкретизированных переменных, допускает обратимость всех аргументов, однако, он может быть использован только в качестве цели в предложении. Предикат УМНОЖЕНИЕ предусматривает реализацию формулы: Арг1*Арг2+Арг3=Арг4.

Предикат предусматривает обратимость аргументов и полностью покрывает арифметические операции в области целых чисел, предусмотренных синтаксисом входного языка ( -32767 <число> 32767). Следующая база знаний на языке Пролог-Д показывает, что с помощью данного предиката можно описать любые арифметические операции:

 

СЛОЖЕНИЕ(X,Y,Z)<-УМНОЖЕНИЕ(1,X,Y,Z);

ВЫЧИТАНИЕ(X,Y,Z)<-УМНОЖЕНИЕ(1,X,Z,Y);

УМНОЖЕНИЕ(X,Y,Z)<-УМНОЖЕНИЕ(X,Y,0,Z);

ДЕЛЕНИЕ(X,Y,Z)<-УМНОЖЕНИЕ(Y,Z,0,X);

 

Во всех четырех случаях X,Y - суть операнды операций, а Z - результат. Например, СЛОЖЕНИЕ(X,Y,Z) реализует арифметическую операцию сложение: Z=X+Y. Более подробное описание синтаксиса встроенного предиката УМНОЖЕНИЕ приведено в описании синтаксиса. Предикат УМНОЖЕНИЕ позволяет описывать вычислительные задачи.

Пример 1. На Прологе-Д необходимо описать вычисление площади прямоугольника, имеющего стороны длиной a и b. Известна формула определяющая площадь прямоугольника Sпр. Sпр=a*b.

 Предикат, который будет выполнен, если вычислена площадь прямоугольника должен иметь три аргумента-Длины сторон и величину площади. Имя предиката должно отражать его назначение, вероятно этому критерию удовлетворит имя площадь:

 

УМНОЖЕНИЕ(X,Y,Z)<-УМНОЖЕНИЕ(X,Y,0,Z);

площадь(a,b,S)<-УМНОЖЕНИЕ(a,b,S);.

 

 Первый предикат УМНОЖЕНИЕ потребовалось определить для наглядности записи. Необходимо отметить, что предикат площадь обратим, это означает, что, пользуясь этим описанием можно вычислить не только площадь по заданным сторонам, но и любую (одну) сторону по другой стороне и площади. К базе знаний можно задать вопросы:

 

?площадь(10,20,S);

 

ответ системы Пролог-Д: S=200,

 

?площадь(a,20,100);

 

ответ системы Пролог-Д: a = 5. Более сложная задача представлена в нижеследующем примере.

Пример 2. На Прологе-Д необходимо описать вычисление объема параллелепипеда высотой h, в основании которого прямоугольник, имеющий стороны длиной a и b. Известна формула определяющая объема параллелепипеда Vпар. Vпар=a*b*h. Предикат, который будет выполнен, если будет вычислен объем параллелепипеда должен иметь четыре аргумента - длины сторон a, b, высоту h и величину объема. Имя предиката должно отражать его назначение, вероятно, этому критерию удовлетворит имя объем:

 

УМНОЖЕНИЕ(X,Y,Z)<-УМНОЖЕНИЕ(X,Y,0,Z);

объем(a,b,h,V)<-УМНОЖЕНИЕ(a,b,S), УМНОЖЕНИЕ (S, h, V);

 

Как и прежде предикат объем обратим, это означает, что, используя это описание можно вычислить, не только объем по заданным сторонам и высоте, но и любую (одну) сторону или высоту по высоте, стороне и объему. В качестве альтернативы, можно иначе записать объем, если воспользоваться формулой:

 

Vпар=Sосн*h.

 

Эту базу знаний предлагается написать самостоятельно.

К базе знаний можно задать вопросы:

 

?объем(10,20,5,V);

 

 ответ системы Пролог-Д: V=200. Наряду с арифметическим предикатом существуют два предиката БОЛЬШЕ и НЕ. Встроенный предикат БОЛЬШЕ(Арг1,Арг2) предназначен для сравнения двух целых или переменных. Он имеет два аргумента: целых или переменных, конкретизированных целыми. Оба аргумента к моменту выполнения должны быть определены. Если эти требования не выполнены, то появится сообщение об ошибке: "Функция не может быть выполнена.". Предикат выполнен, если Арг1 > Арг2, иначе - не выполнен. Несмотря на то, что предикат БОЛЬШЕ один, его достаточно для описания всех возможных предикатов для сравнения числовой информации: равенство - РАВНО; меньше - МЕНЬШЕ; меньше и равно - МИР и так далее. Это показывает база знаний, приведенная ниже:

 

РАВНО(X,X);

МЕНЬШЕ(X,Y)<-БОЛЬШЕ(Y,X);

МИР(X,Y)<-НЕ(БОЛЬШЕ(X,Y);

 

В последнем предложении использован встроенный предикат НЕ, его синтаксис: НЕ(Арг1); Этот встроенный предикат имеет один аргумент, он обязательно должен быть предикатом. Предикат НЕ выполнен тогда и только тогда, когда предикат - аргумент не выполнен. А теперь несложный пример, иллюстрирующий применение БОЛЬШЕ и НЕ.

Пример 3. Опишите на языке Пролог-Д вычисление функции Хевисайда, определяемую формулой:

 

                ì    0, если x<0;

  h(x) =  í   0, если x=0;

                     î   1, если x>0.

 

База знаний должна содержать описание предиката меньше и равно, который выше уже был описаны, предикат, выполняющийся при вычислении функции Хевисайда, будет называться ХЕВИСАЙД. Этот предикат будет иметь два аргумента, первый это аргумент функции, а второй ее значение. Предикат ХЕВИСАЙД определяется через два альтернативных описания для всех значений x

 

МИР(X,Y)<-НЕ(БОЛЬШЕ(X,Y);

ХЕВИСАЙД(X,0)<-МИР(X,0);

ХЕВИСАЙД(X,1)<-БОЛЬШЕ(X,0);

 

 К этой базе знаний можно задать различные вопросы.

 

?ХЕВИСАЙД(20,X);

 

ответ системы Пролог-Д: X=1. И, наконец, последний встроенный предикат - это предикат - "отсечение", предназначенный для управления логическим выводом. Этот предикат потребуется для решения следующих проблем:

1. Ограничение количества найденных решений.

2. Нахождение некоторого особенного решения задачи.

3. Ограничение объема поиска, с целью повышения эффективности работы компьютера. Предикат "отсечение" обозначается знаком восклицания - (!).

Необходимо отметить, что это традиционное обозначение отсечения в системах логического программирования. Если данный предикат использовать в качестве цели в предложении, то полученный при этом эффект можно проиллюстрировать дверью, через которую можно пройти только слева направо, но нельзя вернуться назад через эту дверь. Роль двери выполняет символ !. Как известно система Пролог-Д будет пытаться выполнять цели в предложении порядке просмотра слева направо, начиная от символа <- от первой до последней цели. Если какая-либо цель оказывается не выполненной, то осуществляется возврат и делается попытка найти альтернативные решения. Отсечение ограничивает возможность поиска альтернатив с того момента, как была просмотрена цель, обозначенная символом !. По этой причине, если не выполнены цели А,Б,В, возврат для нахождения альтернативных решений в предложении пример<-А,Б,В,!,Г,Д,Е; возможен, а, если не выполнены цели Г,Д или Е, то уже нет. Рубикон при движении слева направо перейден. Необходимо отметить важность этого предиката особенно при описании задач, допускающих множественные решения. Иллюстрация предиката отсечение на примере базы знаний мама. Действительно, у каждого человека не может быть две матери, поэтому, определив для данного человека имя матери, необходимо прекратить дальнейшие поиски.

 

мама(Саша,Петя)<-!;

мама(Наташа,Ваня)<-!;

мама(Оля,Петя)<-!;

мама(Катя,Даша)<-!;

мама(Люда,Сережа)<-!;

мама(Петя,Костя)<-!;

 

к базе знаний может быть задан вопрос

 

?мама(x,Даша); ответ системы Пролог-Д:

 

x=Kатя ДРУГИХ РЕШЕНИЙ НЕТ.

 

После нахождения первого решения поиск альтернатив не производится.

 

Рекурсия.

Существует огромное количество задач, в которых отношения между объектами можно определить, только используя сами определяемые соотношения. При этом получаются правила, называемые рекурсивными. Применение рекурсии для описания задач при работе с системами логического программирования широко распространенный прием. Рекурсия будет проиллюстрирована несколькими примерами построения программ, как вычислительных, так и логических. Первым примером будет пример вычисления наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел. Предикат, который выполняется, если найден НОД двух данных чисел будет иметь имя нод и три аргумента: числа a,b и значение НОД - c. Для описания вычисления НОД используются следующие соображения. Во-первых, если, а=b, то c=a=b; Во-вторых, если, а>b, то необходимо вычислить НОД для чисел b и a-b; В-третьих, если b>a, то необходимо вычислить НОД для чисел a и b-a. Эти три утверждения естественным образом могут быть записаны на Прологе-Д.:

нод(а,а,а);

 

нод(а,b,c)<-БОЛЬШЕ(а,b),ВЫЧИТАНИЕ(a,b,d),нод(b,d,c);

 

нод(а,b,c)<-БОЛЬШЕ(b,а),ВЫЧИТАНИЕ(b,a,d),нод(a,d,c);

ВЫЧИТАНИЕ(X,Y,Z)<-УМНОЖЕНИЕ(1,X,Z,Y);

 

Если к этой базе знаний задать вопрос:

 

?нод(10,15,x);

 

ответ системы Пролог-Д:

 

x=5 ДРУГИХ РЕШЕНИЙ НЕТ

 

 Предикат нод, определенный выше оказывается обратимым. В качестве второго примера рассматривается задача о вычислении элементов последовательности: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ,34, 55, 89, 144,... , известной как последовательность Фибоначчи. Каждый элемент ее определяется следующими правилами:

 

f0 =0,

f1 =1,

fn =fn-1+fn-2, при n>1

 

Первая формула соответствует утверждению о том, что значение нулевого элемента последовательности равно нулю. Это можно записать в виде факта: Фиб(0,0);. Вторая строка соответствует утверждению: первый элемент равен 1. На Прологе-Д это можно записать так: Фиб(1,1);. Третья строка представляет собой запись рекурсивного соотношения:

 

Фиб(N,X)<-БОЛЬШЕ(N,1),ВЫЧИТАНИЕ(N,1,М),

ВЫЧИТАНИЕ(N,2,К), Фиб(М,Y), Фиб(K,Z),

СЛОЖЕНИЕ(Y,Z,X);

 

 ВЫЧИТАНИЕ и СЛОЖЕНИЕ - имена предикатов вычитание и сложение, определяемых с помощью правил:

СЛОЖЕНИЕ(X,Y,Z)<-УМНОЖЕНИЕ(1,X,Y,Z);

ВЫЧИТАНИЕ(X,Y,Z)<-УМНОЖЕНИЕ(1,X,Z,Y);.

 

 Данные предложения представляют собой базу данных на языке Пролог-Д, позволяющую вычислять значения элементов последовательности. B ответ на вопрос:

 

?Фиб(10,X);

 

ответ системы Пролог-Д:

 

x=55 ДРУГИХ РЕШЕНИЙ НЕТ

 

Необходимо сказать, что такой путь решения данной задачи не самый лучший. Для нахождения N+1 числа Фибоначчи требуется 2* (N+1)-1 рекурсивное обращение. Однако этого можно избежать, если перейти к другой базе знаний, в которой предикат с именем "Фиб" определен как трехарный, то есть имеющий три аргумента, включающий в себя в качестве аргумента значения N-ого и N-1- ого элементов последовательности. Такая база знаний получается в результате перевода на язык Пролог-Д утверждений.

1. 0-ой элемент последовательности есть 0, а (-1) -ый элемент не определен. Фиб(0,x,0);.

 Второй аргумент обозначен x. В данном случае значение x может быть любым.

2. 1-й элемент последовательности есть 1, а нулевой-0. Фиб(1,0,1);. 3. N -й член последовательности Фибоначчи определяется через (N-1) -Й член последовательности.

 

Фиб(N,F,f)<-БОЛЬШЕ(N,1),ВЫЧИТАНИЕ(N,1,M),Фиб (M,Ф,F), СЛОЖЕНИЕ (Ф, F, f);.

 

Обращение к этой базе знаний будет иметь вид:

 

?Фиб(10,F,f);.

 

ответ системы Пролог-Д:

 

F=55, f=34 ДРУГИХ РЕШЕНИЙ НЕТ

 

 При работе с этой базой знаний для вычисления N - го числа Фибоначчи необходимо всего лишь N рекурсивных обращений. Для системы Пролог-Д характерна особенность, проявляющаяся при работе с рекурсивными программами. В общем случае, порядок предложений в базе знаний не имеет значения. Однако, в нижеследующем примере это не так

 

родитель(X)<- родитель(Y),отец(Y,Z);

родитель(Коля);

отец(Коля, Петя);

родитель(Петя);

 

В первом предложении голова имеет то же имя, что и одна из целей - "родитель". В процессе поиска ответа в этой базе знаний будет применено правило: предложение, стоящее первым, будет и применено первым - известное как принцип поиска в глубину. Это приведет к тому, что система будет обращаться только к первому предложению базы знаний и ответ на вопрос ?родитель(Петя); не будет найден никогда. Вместе с тем, небольшое изменение базы знаний, перестановка двух предложений местами, приводит к удачному поиску решения:

 

родитель(Коля);

родитель(X)<-родитель(Y), отец(Y,X);

отец(Коля, Петя);

?родитель(Петя);.

 Неограниченно-повторное обращение к предложению может быть и более замаскированным так, как это получается в примере:

 

ВЫШЕ(А,В)<-НИЖЕ(В,А);

НИЖЕ(В,А)<-ВЫШЕ(А,В);

ВЫШЕ(Коля, Петя);

?НИЖЕ(Петя, Коля);.

 

 Однако если третье предложение стоит на первом месте, то повторного обращения не произойдет и ответ будет найден. Такая ситуация называется петля. При вычислении элементов последовательности Фибоначчи, может появляться бесконечная петля при исполнении программы. В самом деле, если вопрос имеет вид:

 

?Фиб(0,x,y);,

 

то первый возможный результат x =_0, y =1. Далее в попытке отыскать следующее решение возникает бесконечная петля, так как будет отыскиваться Фиб(-1,x,y), Фиб(-2,...),... . Для контроля за подобной ситуацией необходима модификация базы знаний. Первые два предложения должны быть записаны в виде:

 

Фиб(0,x,1)<-!;

Фиб(1,1,1)<-!;,

 

тогда при поиске альтернативного решения после получения ответа на вопрос:

 

?Фиб(0,x,y); x=_0, y =1

 

будет получен результат:

 

ДРУГИХ РЕШЕНИЙ НЕТ.

 

Данный пример иллюстрирует первое возможное использование предиката "отсечение". И еще одно чисто эстетическое предложение. База знаний на Прологе-Д будет выглядеть лучше, если предложения с одинаковыми именами расположены в одном месте. Для сравнения приводится две базы знаний:

 

1.                                     2.

мама(Таня, Надя);                мама(Таня, Надя);

бабушка(X,Y)<-мама(X,Z),            мама(Надя, Катя);

мама(Z,Y),                                        бабушка(X,Y)<-мама(X,Z),