Восклицательный знак в математических трудах обычно означает взятие факториала какого-либо целого неотрицательного числа:

Реферат

Целью данной курсовой работы является изучение особых свойств Гамма-функции Эйлера. В ходе работы была изучена Гамма-функция, её основные свойства и составлен алгоритм вычисления с разной степенью точности. Алгоритм был написан на языке высокого уровня - Си. Результат работы программы сверен с табличным. Расхождений в значениях обнаружено не было.

Пояснительная записка к курсовой работе выполнена в объёме 36 листов. Она содержит таблицу значений гамма-функции при некоторых значениях переменных и тексты программ для вычисления значений Гамма-функции и для построения графика, а также 2 рисунка.

Для написания курсовой работы было использовано 7 источников.

Введение

Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственого либо несобственого интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра.

Такие функции называются интегралами зависящими от параметра. К их числу относятся гамма и бета функции Эйлера.

Бета функции представимы интегралом Эйлера первого рода:

Гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода:

Гамма-функция относится к числу самых простых и значимых специальных функций, знание свойств которой необходимо для изучения многих других специальных функций, например, цилиндрических, гипергеометрических и других.

Благодаря её введению значительно расширяются наши возможности при вычислении интегралов. Даже в случаях, когда конечная формула не содержит иных функций, кроме элементарных, получение её всё же часто облегчает использование функции Г, хотя бы в промежуточных выкладках.

Эйлеровы интегралы представляют собой хорошо изученные неэлементарные функции. Задача считается решённой, если она приводится к вычислению эйлеровых интегралов.

Бэта-функци я Эйлера

 

Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:

= (1.1)

Он представляет функцию от двух переменных параметров  и : функцию B. Если эти параметры удовлетворяют условиям  и ,то интеграл (1.1) будет несобственным интегралом, зависящим от параметров  и ,причём особыми точками этого интеграла будут точки  и

 

Интеграл (1.1) сходятся при .Полагая  получим:

 

= -  =

 

т.e. аргумент  и  входят в  симметрично. Принимая во внимание тождество

 

по формуле интегрирования почестям имеем

 

 

Откуда получаем

 

=

(1.2)

При целом b = n последовательно применяя (1.2)

Получим

 

 (1.3)

 

 

при целых = m, = n, имеем

 

 

но B(1,1) = 1,следовательно:

 

Положим в (1.1)  .Так как график функции симметрична относительно прямой ,то

 

 

 

и в результате подстановки , получаем

 

полагая в(1.1) ,откуда , получим                                                        

 

(1.4)

 

разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до  и применение ко второму интегралу подстановки ,получим

 

Гамма-функция

 

Определение

 

Восклицательный знак в математических трудах обычно означает взятие факториала какого-либо целого неотрицательного числа:

n! = 1·2·3·...·n.

Функцию факториал можно еще записать в виде рекурсионного соотношения:

(n+1)! = (n+1)·n!.

Это соотношение можно рассматривать не только при целых значениях n.

Рассмотрим разностное уравнение

                                                           G(z+1)=zG(z).                     

(2.1)                              

Несмотря на простую форму записи, в элементарных функциях это уравнение не решается. Его решение называется гамма-функцией. Гамма-функцию можно записать в виде ряда или в виде интеграла. Для изучения глобальных свойств гамма-функции обычно пользуются интегральным представлением.