Вычисление некоторых интегралов.
Формула Стирлинга
Применим гамма функцию к вычислению интеграла:
где m > -1,n > -1.Полагая , что ,имеем
и на основании (2.8) имеем
(4.1)
В интеграле
Где k > -1,n > 0,достаточно положить
Интеграл
Где s > 0,разложить в ряд
=
где дзетта функция Римана Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима)
связанные неравенством
Разлагая, в ряд имеем
Переходя к выводу формулы Стирлинга , дающей в частности приближенное значение n! при больших значениях n ,рассмотрим предварительно вспомогательную функцию
(4.2)
Непрерывна на интервале (-1, ) монотонно возрастает от до при изменении от до и обращаются в 0 при u = 0.Так как
то при u > 0 и при u < 0 , далее имеем
И так производная непрерывна и положительна во всем интервале ,удовлетворяет условию
Из предыдущего следует, что существует обратная функция, определенная на интервале непрерывная и монотонно возрастающая в этом интервале, Обращающаяся в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие
(4.3)
Формулу Стирлинга выведем из равенства
полагая ,имеем
Положим далее введенная выше обратная функция, удовлетворяющая условиям u = -1при ,и при .Замечая что(см.4.2)
имеем
, полагая на конец , ,получим
или
в пределе при т.е. при (см 4.3)
откуда вытекает формула Стирлинга
которую можно взять в виде
(4.4)
где ,при для достаточно больших полагают
(4.5)
вычисление же производится при помощи логарифмов
если целое положительное число, то и (4.5) превращается в приближенную формулу вычисления факториалов при больших значениях n
приведем без вывода более точную формулу
где в скобках стоит не сходящийся ряд.
Примеры вычисления интегралов
Для вычисления необходимы формулы:
Г( )
Вычислить интегралы
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ Для вычисления гамма-функции используется аппроксимация её логарифма. Для аппроксимации гамма-функции на интервале x>0 используется следующая формула (для комплексных z):
Г(z+1)=(z+g+0.5)z+0.5exp(-(z+g+0.5)) [a0+a1/(z+1)+a2/(z+2)+...+an/(z+n)+eps]
Эта формула похожа на аппроксимацию Стирлинга, но в ней имеется корректирующая серия. Для значений g=5 и n=6, проверено, что величина погрешности ε не превышает 2*10-10. Более того, погрешность не превышает этой величины на всей правой половине комплексной плоскости: z > 0. Для получения (действительной) гамма-функции на интервале x>0 используется рекуррентная формула Г(z+1)=zГ(z) и вышеприведенная аппроксимация Г(z+1). Кроме того, можно заметить, что удобнее аппроксимировать логарифм гамма-функции, чем ее саму. Во-первых, при этом потребуется вызов только одной математической функции - логарифма, а не двух - экспоненты и степени (последняя все равно использует вызов логарифма), во-вторых, гамма-функция - быстро растущая для больших x, и аппроксимация ее логарифмом снимает вопросы переполнения. Для аппроксимации Ln(Г(х) - логарифма гамма-функции - получается формула: log(Г(x))=(x+0.5)log(x+5.5)-(x+5.5)+ log(C0(C1+C2/(x+1)+C3/(x+2)+...+C7/(x+8))/x) Значения коэффициентов Ck - табличные данные (см. в программе). Сама гамма-функция получается из ее логарифма взятием экспоненты. Заключение
Гамма функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях. Благодаря этому они широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.
Список литературы
1. Специальные функции и их приложения:
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (182)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |