Аппроксимация функций полиномом Ньютона.

1.1. Теоретические основы метода.

Аппроксимация по формулам Ньютона используется если интерполируемая функция f ( x ) задана в ( n +1) равноотстоящих узлах, т.е. x_{i +1} - x_i = Δ x_i = h = const.

Общий вид полинома Ньютона:

P_n(x)=a₀+a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)(x-x₁)+…+a_n(x-x₀)(x-x₁)*…*(x-x_n-1).                      (5)

 

Из условия интерполяции:

y_i = f ( x_i )= Pn ( x_i ), i=  следует определение коэффициентов полинома Ньютона через конечные разности:

a_i= , i=0,1,2,…n.                                                                                           (6)

В общем случае (для всех значений функции, определенных в узлах) конечные разности k-го порядка имеют вид:

 

Δ ^k y_i= Δ ^k-1 y_i+1- Δ ^k-1 y_i                                                                                              (7)

 

Определим конечные разности:

 

Δy₀=y₁-y₀,  Δy₁=y₂-y₁,  …   Δy_i=y_{i +1}-y_i,

Δ²y₀=y₁-y₀, Δ²y₁=y₂-y₁, …   Δ²y_i=y_{i +1}-y_i.

 

Найденные конечные разности записываются в виде таблицы:

 

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y
x0	y0	Δy0	Δ2y0	Δ3y0
x1	y1	Δy1	Δ2y1	Δ3y1
x2	y2	Δy2	Δ2y2	Δ3y2

 

Первая формула Ньютона имеет вид:

 

P_n(x)=y₀+q Δ y₀+ Δ ² y_{0 +…+} Δ ⁿ y ₀                                    (8)

 

q = , где x ₀ – ближайший к точке х узел слева.

 

Если таблица значений функции конечна, то наивысший порядок интерполяционного многочлена равен n, где (n+1) – количество узлов интерполяции. Если длина таблицы задания функции не ограничена, то порядок интерполирования n определяется тем, что каждая конечная разность или их сумма не должна превышать некоторой постоянной величины Е:

 

Формула (8) применяется для интерполяции в начале таблицы («интерполяция вперед»), т.к. в этом случае имеется возможность, взяв большее число узлов, увеличить точность интерполирования.

Для интерполяции в конце таблицы («интерполяция назад») используется вторая интерполяционная формула Ньютона:

 

P_n ( x )= y_n + q Δ y_{n -1} +  Δ² y_{n -2 +…+}  Δ ⁿ y ₀                               (11)

 

q = , где x_n – ближайший к точке х узел справа.

 

Оценки погрешностей формул (8) и (11) имеют соответственно вид (12) и (13).

 

R_n(x)

R_n(x)

 

2.2. Синтез полинома Ньютона.

 

2.2.1.Интерполяция «вперед».

 

По формуле (7) найдем конечные разности и занесем их в таблицу 2.

 

Таблица 2.

Х	Y	Δy	Δ2y	Δ3y	Δ4y	Δ5y	Δ6y	Δ7y	Δ8y	Δ9y
0	0,979498	0,081333	-0,00333	-0,0002	2,4E-05	-8E-06	1,9E-05	-3,7E-05	6,6E-05	-0,00011
0,1	1,060831	0,078006	-0,00353	-0,00018	1,6E-05	1,1E-05	-1,8E-05	2,9E-05	-4,4E-05
0,2	1,138837	0,074475	-0,00371	-0,00016	2,7E-05	-7E-06	1,1E-05	-1,5E-05
0,3	1,213312	0,070764	-0,00388	-0,00014	2E-05	4E-06	-4E-06
0,4	1,284076	0,066889	-0,00401	-0,00012	2,4E-05	4,44E-16
0,5	1,350965	0,062877	-0,00413	-9,3E-05	2,4E-05
0,6	1,413842	0,058748	-0,00422	-6,9E-05
0,7	1,47259	0,054526	-0,00429
0,8	1,527116	0,050235
0,9	1,577351

 

Т.к. точность вычисления по условию нам не задана, интерполируем функцию полиномами 1 (линейная интерполяция), 5 и 8 порядков.

Ближайший к точке x = a =0.104 узел слева – x=0.1, поэтому полагаем x₀=0.1. Точка a находится вначале таблицы, поэтому применяем «интерполяцию вперед», т.е. используем формулу (8), а для оценки погрешности формулу (12).

q= =0.04

 

P₁(0.104)=y₀+q Δy₀

 

R₁(0.104)

 

P₅(0.104)=y₀+q Δy₀+  Δ²y₀+  Δ³y₀+  Δ⁴y₀+  Δ⁵y₀

 

R₅(0.104)

 

P₈(0.104)=y₀+q Δy₀+  Δ²y₀+  Δ³y₀+  Δ⁴y₀+ Δ⁵y₀+ +  Δ⁶y₀+  Δ⁷y₀+

+  Δ⁸y₀

 

 

R₈(0.104) .

 

Результаты интерполяции функции полиномом Ньютона методом «интерполяция вперед» представлены в таблице 3. Общий график функции и график функции в окрестности искомой точки представлены на рисунке 5 и рисунке 6, соответственно.

Как видно из графика (рис. 5) функция близка к линейной и линейная (n=2) интерполяция полиномом Ньютона даёт результат с достаточно высокой точностью. Что подтверждается графиком функции в окрестности точки х=0.104 (рис.6), все три графика практически совпадают.

 

Таблица 3

Х	n	Pn(x)	E
0.104	2	1.06395	6.7*10-5
0.104	5	1.06401	1.2*10-7
0.104	8	1.06402	1.9*10-7

 

 

Алгоритм программы интерполирования функции полиномом Ньютона представлен на рис. 7 и рис. 8. Программа включает в себя функцию «newton» принимающую массив табличных значений аргументов и функции, количество узлов интерполяции, значение точки «х», требуемую точность интерполирования результат вычисления полинома записывается в нулевой элемент двумерного массива.