Примеры систем, семейства решений которых имеют постоянную четную часть
1 .
Найдем решение:
;
;
Таким образом:
Сделаем проверку:
; Четная часть общего решения:
2 .
Найдем решение:
Таким образом:
Сделаем проверку: ;
; , четная часть общего решения 3 .
Найдем решение:
.
Сделаем проверку:
Таким образом: Четная часть общего решения
Из данных примеров можем заметить, что решения систем записывается в виде:
где и – нечетные функции, а четная часть представлена константой.
(4.1)
Системы вида (4.1) будут иметь семейства решений с постоянной четной частью. Семейства решений с постоянной четной частью
Рассмотрим систему
(5.1)
Надо выяснить, когда и при каких условиях семейства решений этой системы будут иметь постоянную четную часть . Иначе говоря, когда не будет зависеть от . Рассмотрим уравнение . Его решение
.
Возьмем отражающую функцию системы (5.1), тогда, используя (1.2) можем записать четную часть следующим образом:
(5.2) Если четная часть будет представлена константой, то
. (5.3)
Продифференцируем (5.2) и прировняем к (5.3). Получаем: . Учитывая (5.1), имеем: .
Воспользуемся соотношением (1.4)
(5.4)
Таким образом, приходим к теореме: Теорема: Если система вида (5.1) имеет семейства решений с постоянной четной частью, то выполнено тождество (5.4)
Заключение
Мы исследовали понятие «отражающей функции». Для периодических решений дифференциальных систем и уравнений были использованы свойства симметричности (четность, нечетность и т.д.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений. Были изучены семейства решений с постоянной четной частью. На примерах мы убедились, что для различных систем, семейства решений которых имеет постоянную четную часть, была получена одинаковая четная часть общего решения. Таким образом, в работе мы исследовали семейства решений линейной системы. Выяснили связь семейства решений этой системы с её отражающей функцией и её свойствами. Установили условия, при которых линейная система имеет общее решение, четная часть которого не зависит от времени.
Литература
1. Арнольд В.И. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Наука, 1971–240 с. 2. Бибиков Ю.Н. «Общий курс дифференциальных уравнений», изд. Ленинградского университета, 1981–232 с. 3. Еругин Н.П. «Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3-е издание», М. изд. Наука и Техника, 1979–744 с. 4. Мироненко В.И. «Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений», г. Минск: изд. «Университетское», 1986–76 с. 5. Понтрягин Л.С. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Наука, 1970–331 с.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (184)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |