Общие свойства интерполяционных пространств

 

Пусть A - векторное пространство над полем вещественных или комплексных чисел. Оно называется нормированным векторных пространством, если существует вещественнозначная функция (норма) , определенная на A, удовлетворяющая условием.

1) , причем

2)  (λ-скаляр)

3) .

Пусть A и B – два нормированных векторных пространства. Отображение T из A в B называется ограниченным линейным оператором, если

 

,  и .

 

Ясно, что всякий ограниченный линейный оператор непрерывен.

Пусть A₀ и A₁ – топологических векторных пространства. Говорят, что

A₀ и A₁ совместимы, если существует отделимое топологическое векторное пространство U, такое, что A₀ и A₁, являются подпространствами. В этом случае можно образовать сумму A₀ + A₁, и пересечение A₀∩A₁. Сумма состоит из всех a U, представимых в виде a=a₀+a₁, где a₀ A, и a₁ A,

Справедлива следующая лемма

Лемма 2.1. Пусть A₀ и A₁-совместимые нормированные векторные пространства. Тогда

A₀∩A₁, есть нормированное векторное пространство с нормой

 

 

A₀ + A₁, также представляет собой нормированное векторное пространство с нормой

 

 

При этом если A₀ и A₁ – полные пространства, то A₀∩A₁ и A₀ + A₁ также полны.

Дадим некоторые важные определения:

Категория σ состоит из объектов A,B,C…., и морфизмов R,S,T,…. между объектами и морфизмами определено трехместное отношение T: A↷B.

Если T: A↷B и S: B↷C, то существует морфизм ST, называемый произведением (или композицией) морфизмов S и T, такой, что ST: A↷ C.

Операция взятия произведения морфизмов удовлетворяет закону ассоциативности: T(SR)=(TS)R. далее, для всякого объекта A из σ существует морфизм I=I_A, такой, что для любого морфизма T: A↷A TI=IT=T

Через σ₁ обозначим категорию всех совместимых пар  пространств из σ.

Определение 2.1. Пусть =(A₀,A₁)-заданная пара из σ₁. Пространство A из σ будем называть промежуточным между A₀ и A₁ (или относительно ), если имеют место непрерывные вложения.

 

 .

 

Если, кроме, того T: ↷ влечет T: A ↷ A, то A называется интерполяционным пространством между A₀ и A₁.

Более общим образом, пусть и - две пары из σ₁. Тогда два пространства A и B из σ называются интерполяционными относительно и соответственно и T: ↷ влечет T: A↷ B.

Если выполнено

 

,

В этом случае, говорят, что A и B равномерные интерполяционные пространства.

Определение 2.2 Интерполяционные пространства A и B называются пространствами типа θ (0≤θ≤1), если

 

 

В случае с=1 говорят, что A и B - точные интерполяционные пространства типа θ.

 

3. О норме и спектральном радиусе неотрицательных матриц

 

Хорошо известно, что проблема нахождения нормы линейного оператора, спектрального радиуса оператора являются трудной проблемой и в конечномерном случае. В то же время, иногда важно не вычисляя нормы оператора знать, как она изменится в случае некоторого преобразования.

В данной работе изучается влияние распределения ненулевых элементов неотрицательной матрицы на норму соответствующего оператора и спектрального радиуса.

Определим пространство  как множество всех наборов вида

 

a=(a₁, a₂,…, a_N)

 

с нормой

 

.

Множество Q={(k,l):k,l=1,…,N} назовем решеткой размерности N x N. Любое множество Q₀={(k_i,l_j): , } будет являться подрешеткой размерности r x m.

Спектральный радиус линейного оператора в конечномерном пространстве  определяется следующим образом:

 

r(A)= ,

 

где l_k- собственные значения оператора A.

Пусть m ≤ N, d₁,…,d_m - положительные числа. Через D_m обозначим множество неотрицательных матриц А, ненулевые элементы которых принимают значения d₁,…,d_m. Через P(A) обозначим множество индексов соответствующих положительным элементам. Пусть AÎD_m. Если D={(k_i,l_j), i=1,…,q, j=1,…,p} подрешетка, содержащая P(A), то для соответствующего оператора А

 

 

Как видно из этого определения, от перестановки строк и столбцов матрицы норма не меняется.

Пусть даны положительные числа d₁,…,d_m и натуральное число m < N².

Будем исследовать следующие вопросы:

Как расположить числа d₁,…,d_m в решетке Q, чтобы норма линейного оператора A_Q соответствующего решетке (матрице) Q была максимальной?     

Пусть в неотрицательной решетке Q m положительных элементов. Как расположить (m+1)-ый элемент, чтобы норма линейного оператора A_Q соответствующей полученной решетке была максимальной?

Как расположить числа d₁,…,d_m в решетке Q, чтобы спектральный радиус был минимальным (максимальным)?

Справедливы следующие теоремы:

Теорема 3.1 Пусть d₁,…,d_m положительные числа, D_m - класс неотрицательных матриц, ненулевые элементы которых принимают значения d₁,…,d_m. Если m ≤ N, Q₀ -произвольная подрешетка размерности 1  m, то

 

.

 

Доказательство. Воспользуемся определением и неравенством Коши-Буняковского, получаем

 

 

Неравенство в обратную сторону очевидно.

Теорема доказана.

Данное утверждение говорит о том, что если ненулевых элементов меньше либо равно N, то своего максимума норма достигается когда все ненулевые элементы расположены в одной строке или в одном столбце.

Теорема 3.2 Пусть d₁=…=d_m=d, то есть D_m – множество всех матриц, имеющие m ненулевых элементов, которые равны числу d. Q₀ -произвольная решетка, симметричная относительно главной диагонали размерности n n, где n=min{r: r² ≥ m}. Тогда

 

,

 

где [m^1/2] - целая часть числа m^1/2.

Доказательство. Из свойства спектрального радиуса имеем для AÎD_m

 

.

 

Пусть Q₁ -подрешетка, также симметричная относительно главной диагонали размерности . Тогда для AÎD_m, Q₁ÌP(A)ÌQ₀ имеет место представление

 

А=А₁+А₀, где А₁,А₀ÎD_m, Р(А₁)=Q₁, P(A₀)ÌQ₁\Q₀.

 

Учитывая, что матрицы А₀ и А₁ неотрицательны, получаем

 

,

 

поэтому r(A₀)≤r(A).

С другой стороны А₁ – симметричная матрица и следовательно

.

 

Таким образом,

 

.

 

Теорема доказана.

Теорема 3.3 Пусть множество GÌQ, где Q - решетка размерности n n таково, что, если (k,l)ÎG, то (l,m),(n,k)ÏG для всех n,mÎ{1,2,…,N}.

Тогда, если P(A)ÌG, то r(P(A))=0.

Доказательство. Не трудно проверить, что для матрицы А с ненулевыми элементами из G (т.е. P(A)ÌG) имеет место равенство А²=0, т.е. А – нильпотентная матрица индекса 2 и следовательно у нее единственное собственное значение 0.

Теорема доказана.

Теорема 3.4 Пусть AÎD_m. Пусть Q₀ -минимальная подрешетка содержащая P(A), (Q₀ÉP(A)) такая, что в каждой строке и в каждом столбце находится хотя бы один элемент соответствующий нулевому элементу матрицы A.

Пусть A_d – матрица, полученная из матрицы A добавлением элемента со значением d>0 в одно из свободных мест, тогда

 

 

Доказательство.

Так как норма оператора не зависит от перестановки строк и столбцов матрицы, то можно считать, что решетка A₀={(i,j), i=1,…,l; j=1,…,m} расположена в левом верхнем углу матрицы A. Пусть добавлен еще один ненулевой элемент d с координатами (i₀,j₀) вне решетки Q₀. Возможны три случая:

1) 1 ≤ i₀ ≤ l, j₀ > m;

2) i₀ > l, 1 ≤ j₀ ≤ m;

3) i₀ > l, j₀ > m.

Рассмотрим первый случай. Не уменьшая общности положим, что этот ненулевой элемент соответствует индексу (1, m+1). По условию теоремы в каждой строке и в каждом столбце имеется хотя бы один нулевой элемент и мы можем предположить, что a_1m=0. Получаем:

 

 

Используя неравенства

 

,

 

имеем:

 

Пусть z₁=x₁, z₂=x₂,…,z_m=  и

 

,

 

тогда

 

 

где элемент  имеет координаты (1,m).

Следовательно

 

 

Рассмотрим второй случай. Пусть добавленный ненулевой элемент соответствует индексу (l+1,1). Учитывая, что в каждой строке и в каждом столбце решетки есть хотя бы один ненулевой элемент и то, что от перестановки строк норма матрицы не меняется, мы можем предположить, что a_l1=0. Аналогично первому случаю имеем:

 

.

 

Используя неравенства

 

,

 

получаем:

 

.

 

Пусть z₁=y₁, z₂=y₂,…,z_m=  и

 

,

тогда

 

 

где элемент  имеет координаты (l,1). Следовательно

 

 

Рассмотрим последний случай. Не уменьшая общности положим, что этот ненулевой элемент соответствует индексу (l+1, m+1). В этом случае нужно учесть, что от перестановки строк и столбцов норма матрицы не изменится, поэтому можно положить, что a_lm=0. Рассуждая также, как и в предыдущих случаях, получаем:

 

где элемент  имеет координаты (l,m).

Теорема доказана. Аналогичные задачи для интегральных операторов были рассмотрены в работах [1], [5].

 

4. Некоторые интерполяционные свойства семейств конечномерных пространств

 

Пусть 1 ≤ p < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞. Определим семейство конечномерных пространств:

 

 

где  невозрастающая перестановка последовательности . Обозначим через –множество всех непустых подмножеств из {1,2,...N} Пусть M  , 1 ≤ p < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞, множество M назовем сетью.

Определим семейство конечномерных пространств

 

 

 

|e| - количество элементов множества e.

При q=∞ положим

 

Данные пространства являются конечномерными аналогами сетевых пространств, введенных в [1].

Будем говорить что {A^N} ↪ {B^N} если существует константа c, такая что  для любого , где c не зависит от .

Лемма 4.1 Пусть 1 ≤ q <q₁≤ ∞, 1 ≤ p ≤ ∞, . Тогда имеет место вложение

 

↪

 

то есть

 

 

где с не зависит от выбора N.

Доказательство. Пусть

 

(1)

 

то есть ↪

Теперь рассмотрим случай, когда 1 ≤ q <q₁< ∞, и воспользуемся неравенством (1)

 

 

Лемма доказана.

Лемма 4.2 Пусть 1≤p<p₁<∞, 1≤q,q₁≤∞. Тогда имеем место вложение

 

↪

 

Доказательство.

Согласно условию леммы, нам достаточно доказать вложения при p < p_{1 :}

↪

 

Получаем:

 

 

Лемма доказана.

Лемма 4.3 Пусть 1<p<∞, 1≤q≤∞, M= . Тогда

 

 

Равенства понимаются с точностью до эквивалентности норм, причем константы не зависят от .

Доказательство. Сначала докажем соотношение:

 

(2)

 

Заметим, что

 

 

Поэтому

 

 

Теперь покажем обратное неравенство. Пусть . Учитывая выбор  имеем.

 

~

~

 

Заметим, что

 

 

Согласно (2) получаем:

 

то есть ↪ .

 

Докажем обратное включение. Пусть Введем следующие обозначения:

 

 

Тогда

.

 

Пусть для определенности

 

.

 

Возможны следующие случаи:

 

.

 

В первом случае получаем, что

 

.

 

Во втором случае , следовательно . Представим , тогда . Здесь и далее  - целая часть числа .

Получаем

 

Заметим, что существует  такое, что

 

 

Положим  Тогда .

 

.

 

Таким образом, получаем

 

 

Из того, что

 

Имеем

 

 

То есть . Следовательно ↪ где соответствующие константы не зависят от N.

Лемма доказана.

Для пары пространств  определим интерполяционные пространства  аналогично [5] .

Пусть , тогда

 

где

 

При q=∞

 

Лемма 4.4 Пусть , d>1. Тогда

 

 

Справедлива следующая

Теорема 4.1 Пусть ≤p₀<p₁<∞, 1<q₀,q₁≤∞, M – произвольная сеть. Тогда

 

↪

 

где

Доказательство.

Учитывая, что ↪ нам достаточно, доказать следующее вложение

 

↪

 

Пусть  Рассмотрим произвольное представление a=a₀+a₁, где

 

 тогда

 (3)

 

Так как представление a=a₀+a₁ произвольно, то из (3) следует

 

 

Где  Рассматривая норму элемента в пространстве и применяя

 лемму 4.4 , получаем:

 

 

Теорема доказана.

Теорема 4.2 Пусть 1≤p₀<p₁<∞, 1<q₀,q₁≤∞, Тогда имеет место равенство

 

Это равенство понимается в смысле эквивалентности норм с константами, не зависящими N.

Доказательство. По теореме 4.1 и того, что  является обобщением пространств Лоренца нам достаточно доказать следующее вложение:

 

↩

.

 

Определим элементы  и  следующим образом

 

 , тогда .

 

Заметим что

 

 (4)

где

(5)

где

Тогда

 

 

Из (4) и (5) имеем:

 

 

Оценим отдельно каждое из слагаемых последнего равенства, используя неравенство Гельдера:

 

~

 

где .

Таким образом, получаем, что  Аналогично рассмотрим второе слагаемое:

 

~

~

~

 

Таким образом, получаем

 

 

где c не зависит от .

Теорема доказана.

Теорема 4.3 Пусть  - матрица , тогда

 

~

 

Причем соответствующие константы не зависят от

Доказательство.

Воспользуемся эквивалентными представлением нормы  и неравенством о перестановках, получим

 

~

 

где  - невозрастающая перестановка последовательности

Применим неравенство Гельдера

 

 

Учитывая лемму 3, имеем

 

 

Обратно, пусть e произвольное множество из M₁,  , где

 

 

Тогда

 

 

В силу произвольности выбора e из M₁ получаем требуемый результат.

Следствие. Пусть  - матрица

 

p₀<p₁, q₀<q₁,  тогда

 

Доказательство. Из теоремы 3 следует, что

 

 

Воспользуемся интерполяционными теоремами 1,2, получаем

 

 

то есть

 

 

С другой стороны по лемме 1 и теореме 3 имеем

 

,

Следствие доказано.

 

Заключение

 

В данной курсовой работе приведены и доказаны некоторые свойства конечномерных пространств, а именно пространств Лоренца и сетевых пространств.

Полученные результаты могут быть полезны для студентов, магистрантов, аспирантов и преподавателей. Кроме того, данный материал может быть использован для чтения спецкурсов и спецсеминаров.

 

Список использованной литературы

 

1. Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир, 1980.

2. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965.

3. Костюченко А.Г., Нурсултанов Е.Д. Об интегральных операторах в пространствах. Фундаментальная и прикладная математика. Т.5. №2, 1999. С. 475-491.

4. Костюченко А.Г., Нурсултанов Е.Д. Теория управления катастрофами. //Успехи математических наук, 1998. Т.53. Выпуск 2.

5. Нурсултанов Е.Д. Сетевые пространства и неравенства типа Харди-Литтлвуда //Матем.сборник.-1998.-Т.189, №3.-С.83-102.

6. Таджигитов А.А. О зависимости нормы матрицы от взаимного расположения ее элементов. // Материалы Международной научной конференции "Современные проблемы теории функций и их приложения", Саратов, Россия, 2004, с. 177-178.

7. Таджигитов А.А. О норме и спектральном радиусе неотрицательных матриц. //Материалы Международной научно-практической конференции "Современные исследования в астрофизике и физико-математических науках", Петропавловск, 2004, с. 104-107.

8. Таджигитов А.А. Интерполяционные свойства конечномерных пространств. //Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов 2005", Астана, 2005, с. 41-42.