Исследование парзеновских оценок плотностей на практике

 

В данном исследовании была поставлена задача смоделировать повторную выборку, соответствующую плотности распределения

 

 

( ) и применить к ней парзеновскую оценку, а также сравнить графически найденную оценку с истинной плотностью.

Работа выполняется в пакете Microsoft Excel, так как этот пакет один из наиболее пригодных для решения подобных задач.

На интервале [-4;9] с шагом 0,2 построим графическое изображение истинного значения плотности распределения по заданной нам функции при .

Полученный результат представлен на рис. 1:

 

Рис. 1. График заданной плотности распределения

 

Для оценивания ее строим повторную (обучающую) выборку, соответствующую данной плотности распределения. В качестве ядра k(y) выберем функцию

.

 

Проверим, удовлетворяет ли при N=1 функция  условиям теорем (2.1) и (2.2).

 

(a)

 

где а – некоторая константа,

 

(b) ,

(c)

 

 

(d) Функция непрерывна во всех точках х ,

 

(e) .

 

Таким образом, условия теорем выполнены, и оценка является асимптотически несмещенной оценкой величины p(x) (в силу условий (а)-(d)), то есть

 

 

и состоятельной оценкой (в силу условий (а)-(е)), то есть

 

 

В зависимости от выбора множителя  оценки будут принимать различный вид. Графики сравнения оценки с истинным значением функции при различных  представлены на рис. 2-5.

 

Рис. 2. График сравнения оценки плотности распределения с ее истинным значением при

Рис. 3. График сравнения оценки плотности распределения с ее истинным значением при

 

Рис. 4. График сравнения оценки плотности распределения с ее истинным значением при

Рис. 5. График сравнения оценки плотности распределения с ее истинным значением при

 

Наиболее удачная оценка получается при  (см. рис. 6)

 

Рис. 6. График сравнения оценки плотности распределения с ее истинным значением при

Также вид оценки зависит от повторной выборки. Графики, полученные при изменении значений обучающей выборки при неизменном  представленны на рис. 6-8.

 

Рис. 7. График сравнения оценки плотности распределения с ее истинным значением для повторной выборки (1)

 

Рис. 8. График сравнения оценки плотности распределения с ее истинным значением для повторной выборки (2)

Таким образом, для каждой новой повторной выборки необходимо подбирать свое , максимально приближающее оценку к истинной плотности распределения.

Заключение

 

Таким образом, в процессе выполнения курсовой работы мною было исследовано теоретически и на практике построение непараметрических парзеновских оценок. В ходе работы мною сделаны выводы, что хорошо выполненная оценка достаточно достоверно отображает поведение заданной функции и что в результате изменения значений повторной выборки и неотрицательной числовой последовательности  можно построить оценку, максимально приближенную к истинному значению функции.

Список литературы

 

1. Лиховидов В.Н. Практический курс распознавания образов. – Владивосток: издательство ДВГУ, 1983.

2. Невельсон М. Б., Хасьминский Р.З. Стохастическая аппроксимация и рекуррентное оценивание. М.: «Наука», 1972.

3. Булдаков В. М., Кошкин Г. М. Рекуррентное оценивание условной плотности вероятности и линии регрессии по зависимой выборке. Материалы V научн. конф. По математике, I. Томск, 1974, 135-136.

4. Воронцов К. В. Лекции по статистическим (байесовским) алгоритмам классификации, 2008.