Применение метода Монте – Карло для вычисления n – мерного интеграла.

Задание 12 Вычисление интегралов методом Монте – Карло.

Цель:

1) Реализация генератора случайных чисел для метода Монте – Карло.

2) Сравнение равномерного распределения и специально разработанного.

3) Вычисление тестового многомерного интеграла в сложной области.

Продукт:

1) Программный код в виде функции на языке С++ или Fortran .

2) Тестовые примеры в виде программы, вызывающие реализованные функции.

3) Обзор использованной литературы.

Для реализации данного технического задания был выбран язык C++. Код реализован в интегрированной среде разработки приложений Borland C++ Builder Enterprises и математически обоснован соответствующий способ вычисления интеграла.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ АЛГОРИТМА ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА

Принцип работы метода Монте – Карло

Датой рождения метода Монте - Карло признано считать 1949 год, когда американские ученые Н. Метрополис и С. Услам опубликовали статью под названием «Метод Монте - Карло», в которой были изложены принципы этого метода. Название метода происходит от названия города Монте – Карло, славившегося своими игорными заведениями, непременным атрибутом которых являлась рулетка – одно из простейших средств получения случайных чисел с хорошим равномерным распределением, на использовании которых основан этот метод.

Метод Монте – Карло это статистический метод. Его используют при вычислении сложных интегралов, решении систем алгебраических уравнений высокого порядка, моделировании поведения элементарных частиц, в теориях передачи информации, при исследовании сложных экономических систем.

Сущность метода состоит в том, что в задачу вводят случайную величину , изменяющуюся по какому то правилу . Случайную величину выбирают таким образом, чтобы искомая в задаче величина  стала математическим ожидание от , то есть .

Таким образом, искомая величина  определяется лишь теоретически. Чтобы найти ее численно необходимо воспользоваться статистическими методами. То есть необходимо взять выборку случайных чисел  объемом . Затем необходимо вычислить выборочное среднее  варианта случайной величины  по формуле:

.                                                                                     (1)

Вычисленное выборочное среднее принимают за приближенное значение .

Для получения результата приемлемой точности необходимо большое количество статистических испытаний.

Теория метода Монте – Карло изучает способы выбора случайных величин  для решения различных задач, а также способы уменьшения дисперсии случайных величин.

Применение метода Монте – Карло для вычисления n – мерного интеграла.

Рассмотрим n – мерный интеграл

 для .                                       (2)

Будем считать, что область интегрирования , и что  ограниченное множество в . Следовательно, каждая точка х множества  имеет n координат: .

Функцию  возьмем такую, что она ограничена сверху и снизу на множестве : .

Воспользуемся ограниченностью множества  и впишем его в некоторый n – мерный параллелепипед , следующим образом:

,

где - минимумы и максимумы, соответственно,  - ой координаты всех точек множества : .

Доопределяем подынтегральную функцию  таким образом, чтобы она обращалась в ноль в точках параллелепипеда , которые не принадлежат :

                                                         (3)

Таким образом, уравнение (2) можно записать в виде

.                                                              (4)

Область интегрирования представляет собой n – мерный параллелепипед  со сторонами параллельными осям координат. Данный параллелепипед можно однозначно задать двумя вершинами , которые имеют самые младшие и самые старшие координаты всех точек параллелепипеда.

Обозначим через  n-мерный вектор, имеющий равномерное распределение в параллелепипеде : , где .

Тогда ее плотность вероятностей  будет определена следующим образом

                                                 (5)

Значение подынтегральной функции  от случайного вектора  будет случайной величиной , математическое ожидание  которой является средним значением функции на множестве :

.                                                                (6)

Среднее значение функции на множестве  равняется отношению значения искомого интеграла к объему параллелепипеда :

                                           (7)

Обозначим  объем параллелепипеда .

Таким образом, значение искомого интеграла можно выразить как произведение математического ожидания функции и объема n- мерного параллелепипеда :

                                                                          (8)

Следовательно, необходимо найти значение математического ожидания . Его приближенное значение можно найти произведя n испытаний, получив, таким образом, выборку  случайных векторов, имеющих равномерное распределение на . Обозначим  и . Для оценки математического ожидания воспользуемся результатом

,                                                    (9)

где ,

,

 - квантиль нормального распределения, соответствующей доверительной вероятности .

Умножив двойное неравенство из (9) на  получим интервал для I:

.                                               (10)

Обозначим  точечную оценку . Получаем оценку (с надежностью ):

.                                        (11)

Аналогично можно найти выражение для относительной погрешности :

.                                                (12)

Если задана целевая абсолютная погрешность , из (11) можно определить объем выборки, обеспечивающий заданную точность и надежность:

.                                               (13)

Если задана целевая относительная погрешность, из (12) получаем аналогичное выражение для объема выборки:

.                                                            (14)