СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

 

События могут быть совместными и несовместными. Два события называют несовместными, если в результате опыта они не могут появиться одновременно. И наоборот, события считаются совместными, если они появляются одновременно в результате такого опыта.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

 

Метод полной индукции позволяет использовать теорему сложения для произвольного числа несовместных событий. Так, вероятность суммы нескольких событий равна сумме вероятностей этих событий

 

Более удобная запись теоремы сложения:

 

 

Следствие 1. Если события А1, А2, ... , А n образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

 

 

Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

 

 

где А – событие, противоположное событию А.

Вероятность суммы двух совместных событий А и В выражается формулой

 

 

Аналогично вероятность суммы трех совместных событий определяется выражением

 

Вероятность суммы любого числа совместных событий определяется выражением

 

Данная формула выражает вероятность суммы любого числа событий через вероятности произведений этих событий, взятых по одному, по два, по три и т. д.

Аналогичную формулу можно написать для произведения двух событий:

для произведения трех событий:

Общая формула, выражающая вероятность произведения произвольного числа событий через вероятности сумм этих событий, взятых по одному, по два, по три и т. д., имеетвид:

 

События могут быть независимыми и зависимыми.

Событие А называютнезависимымот события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Событие А называютзависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события Аи обозначается Р(А/В).

Если Р(А) = 2/3, Р(А/В) = 1/2.

Теорема умножения вероятностей формулируется следующим образом.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место, т. е.

 

 

Очевидно, что при применении теоремы умножения безразлично, какое из событий – А или В – считать первым, а какое вторым, и теорему можно записать так:

Два события называют независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

Понятие независимых событий может быть распространено на случай произвольного числа событий. Несколько событий называют независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий. В общем виде она формулируется так.

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляют при условии, что все предыдущие имели место:

 

 

В случае независимых событий теорема упрощается и принимает вид:

 

 

т. е. вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Применяя знак произведения, теорему можно записать так:

 

Следствием обеих основных теорем - теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей – является формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий: Н1, Н2, ... , Н n, образующих полную группу несовместных событий, называемых гипотезами.

 

Задача 7

Устройство состоит из пяти приборов, каждый из которых, независимо от других, может в течение времени t отказать. Отказ хотя бы одного прибора приводит к отказу устройства. За время t вероятность безотказной работы каждого из приборов соответственно равна P1(t)=0,95; P2(t)=0,99; P3(t)=0,98; P4(t)=0,90; P5(t)=0,93. Найти надежность устройства за время работы t.

Решение. Введем обозначения вероятностей безотказной работы первого – пятого приборов: А1 - А5.

Имеем:

А = А1А2А3А4А5.

По формуле умножения для независимых событий получим:

 

Р(А)=Р(А1) Р(А2) Р(А3) Р(А4) Р(А5)=0,95*0,99*0,98*0,90*0,93=0,76.

 

Задача 8

Производят три выстрела по одной и той же мишени. Вероятность попадания при первом - третьем выстрелах соответственно равна: Р1 = 0,8; Р2 = 0,6; Р3 = 0,3; Найти вероятность того, что в результате этих трех выстрелов в мишени будет хотя бы одна пробоина.

Решение. Рассмотрим событие В – хотя бы одно попадание в мишень. Представим событие В в виде суммы несовместных вариантов:

 

B=A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3,

где A1, A2, A3 – попадания при первом – третьем выстрелах; A1, A2, A3 – промах при первом – третьем выстрелах.

Вероятность каждого варианта находим по теореме умножения, а затем используем теорему сложения:

 

Р(В) = Р(А1)Р(А2)Р(А3) + Р(А1)Р(А2)Р(А3) + Р(А1)Р(А2)Р(А3)+ +Р(А1)Р(А2)Р(А3) +

Р(А1)Р(А2)Р(А3) + Р(А1)Р(А2)Р(А3) + Р(А1)Р(А2)Р(А3) =

 

= 0,8*0,6*0,3+0,8*0,6*(1–0,3)+0,8* (1–0,6)*0,3+

+(1 – 0,8)*0,6*0,3 + 0,8*(1 – 0,6)*(1 – 0,3) + (1 – 0,8)*0,6*(1 – 0,3) +

+(1– 0,8)*(1 –0,6)*0,3=0,946.