Выполнение программы в математическом пакете.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Чувашский государственный университет им. И. Н. Ульянова КУРСОВАЯ РАБОТА По вычислительной математике.
Вычисление двойных интегралов методом ячеек.
Выполнил студент факультета ИиВТ, Группа ИВТ-11-00 Борзов Леонид
Чебоксары-2002
Содержание.
Теоретическая часть…………………………………………3 Задание………………………………………………………..4 Текст программы. ……………………………………………5 Блок-схема программы…………………….………………...6 Выполнение программы в математическом пакете………..7 Список использованной литературы……………………......8
Теоретическая часть. Численные методы могут использоваться для вычисления кратных интегралов. Ограничимся рассмотрением двойных интегралов вида I = (1) Одним из простейших способов вычисления этого интеграла является метод ячеек. Рассмотрим сначала случай, когда областью интегрирования G является прямоугольник: , .По теореме о среднем найдём среднее значение функции f ( x , y ): S =( b - a )( d - c ). (2) Будем считать, что среднее значение приближённо равно значению функции в центре прямоугольника, т. е. . Тогда из (2) получим выражение для приближённого вычисления двойного интеграла: (3) Точность этой формулы можно повысить, если разбить область G на прямоугольные ячейки D ij (рис. 1): xi -1 i (i=1,2,…,M), yi -1 i (j=1,2,…,N). Применяя к каждой ячейке формулу (3), получим òòDGijf ( x , y ) dxdy » ¦ ( ) D xi D yi. Суммируя эти выражения по всем ячейкам, находим значение двойного интеграла: I , j ) (4) В правой части стоит интегральная сумма; поэтому при неограниченном уменьшении периметров ячеек (или стягивания их в точки) эта сумма стремится к значению интеграла для любой непрерывной функции f ( x , y ). Можно показать, что погрешность такого приближения интеграла для одной ячейки оценивается соотношением Rij » D xi D yj . Суммируя эти выражения по всем ячейкам и считая все их площади одинаковыми, получаем оценку погрешности метода ячеек в виде O ( D x 2 + D y 2 ). Таким образом, формула (4) имеет второй порядок точности. Для повышения точности можно использовать обычные методы сгущения узлов сетки. При этом по каждой переменной шаги уменьшают в одинаковое число раз, т. е. отношение M / N остаётся постоянным. Если область G непрямоугольная, то в ряде случаев её целесообразно привести к прямоугольному виду путём соответствующей замены переменных. Например, пусть область задана в виде криволинейного четырёхугольника: , . Данную область можно привести к прямоугольному виду с помощью замены , . Кроме того, формула (4) может быть обобщена и на случай более сложных областей.
Задание. Найти при помощи метода ячеек значение интеграла , где – область, ограниченная функциями . Текст программы. #include<conio.h> #include<iostream.h> float f(float,float); void main() { const float h1=.0005,h2=.001; float s1,x,y,i,I; clrscr(); s1=h1*h2; I=0; y=h2/2; x=1-h1/2; for(i=0;i<1/h2;i++) { while (y<2*x-1) { I+=s1*f(x,y); x-=h1; } y+=h2; x=1-h1/2; } cout<<"Площадь интеграла равна: "<<I; getch(); }
float f(float x,float y){ return x*x+y*y; }
Блок-схема программы.
Выполнение программы в математическом пакете. h1=.0005; h2=.001; s1=h1*h2; I=0; y=h2/2; x=1-h1/2; for i=1:1/h2 while y<2*x-1 I=I+s1*(x*x+y*y); x=x-h1; end y=y+h2; x=1-h1/2; end disp('Площадь интеграла равна:'); disp(I); В зависимости от шагов сетки получаем с различной точностью значение искомого интеграла
Площадь интеграла равна: 0.2190
Список использованной литературы.
1. Бахвалов Н.С. Численные методы. т.1 – М.: Наука. 1975. 2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1966. 3. Калиткин Н.Н Численные методы. – М.: Наука, 1978. 4. Турчак Л. И. Основы численных методов. – М.: Наука, 1987.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (154)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |