Моменты распределения.

Моменты распределения составляют алгоритмическую основу многих статистических методов. Различают:

§ Произвольные (общий случай);

§ Начальные;

§ Центральные;

§ Стандартные (частный случай).

Выделяют:

- Взвешенные;

- Невзвешенные.

Произвольным моментом k -го порядка называется среднее значение k-ой степени отклонения всех вариантов ряда от произвольного постоянного числа.

 - для несгруппированных данных;

 - для сгруппированных данных.

При этом k принимает целочисленное значение от 1 до 4.

Если А=0, то произвольный момент преобразуется в начальный момент.

 - для несгруппированных данных;

при k=1 M₁=

при k=2 M₂=

 - для сгруппированных данных.

Если А= , произвольный момент преобразуется в центральный момент распределения.

 - для несгруппированных данных;

 - для сгруппированных данных.

При k=1 M₁=0

При k=2 M₂=

Стандартные моменты это начальные моменты из стандартных отклонений.

 - для несгруппированных данных;

 - для сгруппированных данных.

Стандартный момент k-го порядка это отношение центрального момента того же порядка к средне квадратическому отклонению в k-ой степени.

Так же как средняя арифметическая величина и дисперсия, центральные и стандартные моменты обладают рядом свойств, которые по сути ближе всего к свойствам дисперсии.

Показатели асимметрии и эксцесса.

При анализе распределений помимо графического изображения характер распределения можно выяснить, рассчитывая такие показатели, как асимметрия и эксцесс. 

В качестве показателя асимметрии используют стандартный момент 3-го порядка. Если распределение симметрично относительно средней то показатель асимметрии равен нулю.

Если показатель асимметрии больше 0, то есть преобладают положительные отклонения от среднего, то наблюдается правосторонняя асимметрия, то есть преобладание в совокупности вариантов ряда превышающих среднюю.

 Если же показатель асимметрии меньше 0, налицо левосторонняя асимметрия, то есть превышение численности вариантов ряда меньше чем средняя.

Показатель эксцесса характеризует степень колеблемости исходных данных, чем сильнее вариация, тем более пологой является кривая распределения и наоборот, чем однороднее совокупность, тем в большей степени варианты ряда сконцентрированы около средней и тем более островершинней будет кривая распределения.

В качестве эталона высоты распределения в статистике принимается кривая нормального распределения. Доказано, что стандартный момент 4-го порядка у этой кривой равен 3.