Система MathCAD и её основные функции. Аппроксимация функции. Численное дифференцирование в MathCAD

 является интегрированной системой программирования, ориентированной на проведение математических и инженерно-технических расчетов.

Система MathCAD содержит текстовый редактор, вычислитель и графический процессор.

Текстовый редактор - служит для ввода и редактирования текстов. Тексты являются комментарии и входящие в них математические выражения не выполняются. Текст может состоять из слов, математических выражений и формул, спецзнаков. Отличительная черта системы - использование общепринятой в математике символики (деление, умножение, квадратный корень).

Вычислитель - обеспечивает вычисление по сложным математических формулам, имеет большой набор встроенных математических функций, позволяет вычислять ряды, суммы, произведения, определенный интеграл, производные, работать с комплексными числами, решать линейные и нелинейные уравнения, проводить минимизацию функции, выполнять векторные и матричные операции и т.д. Легко можно менять разрядность чисел и погрешность интеграционных методов.

Графический процессор - служит для создания графиков. Он сочетает простоту общения с пользователем с большими возможностями графических средств. Графика ориентирована на решение типичных математических задач. Возможно быстрое изменение размеров графиков, наложение их на текстовые надписи и перемещение их в любое место документа. MathCAD автоматически поддерживает работу с математическим процессором. Последний заметно повышает скорость расчетов и вывода графиков, что существенно в связи с тем, что MathCAD всегда работает в графическом режиме. Это связано с тем, что только в этом режиме можно формировать на экране специальные математические символы и одновременно применять их вместе с графиками и текстом. MathCAD поддерживает работу со многими типами принтеров, а так же с плоттерами.

MathCAD - система универсальная, т.е. она может использоваться в любой области науки и техники, везде, где применяются математические методы. Запись команд в системе MathCAD на языке, очень близком к стандартному языку математических расчетов, упрощает постановку и решение задач.

Сегодня различные версии MathCAD являются математически ориентированными универсальными системами. Помимо собственно вычислений, как численных, так и аналитических, они позволяют с блеском решать сложные оформительские задачи, которые с трудом даются популярным текстовым редакторам или электронным таблицам.

С помощью MathCAD можно, например, готовить статьи, книги, диссертации, научные отчеты, дипломные и курсовые проекты не только с качественными текстами, но и с легко осуществляемым набором самых сложных математических формул, изысканным графическим представлением результатов вычислений и многочисленными "живыми” примерами. А применение библиотек и пакетов расширения обеспечивает профессиональную ориентацию MathCAD на любую область науки, техники и образования.

Аппроксимация.

Аппроксимацией функции f (x) называется нахождение такой функции g (x), которая была бы близка к заданной в соответствии с выбранным критерием. Задачей аппроксимации является нахождение функции g (x), проходящей через заданные узлы в соответствии с заданным критерием.

Аппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по функции f (x) можно рассмотреть другую функцию g (x) близкую в некотором смысле к f (x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку погрешности такой замены.

g (х) - аппроксимирующая функция.

Интерполяция (частный случай аппроксимации)

Если для табличной функции y=f (x), имеющей значение x0 f (x0) требуется построить аппроксимирующюю функцию g (x) совпадающую в узлах с xi c заданной, то такой способ называется интерполяцией

При интерполяции, заданная функция f (x) очень часто аппроксимируется с помощью многочлена, имеющего общий вид

j (x) =p_n (x) =a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₀

В данном многочлене необходимо найти коэффициенты an,an-1, …a0, так как задачей является интерполирование, то определение коэффициентов необходимо выполнить из условия равенства:

Pn (xi) =yi i=0,1,…n

Для определения коэффициентов применяют интерполяционные многочлены специального вида, к ним относится и полином Лагранжа Ln (x).

 i¹j

В точках отличных от узлов интерполяции полином Лагранжа в общем случае не совпадает с заданной функцией.

Функции аппроксимации.

Для осуществления сплайновой аппроксимации MathCAD предлагает четыре встроенные функции. Три из них служат для получения векторов вторых производных сплайн-функций при различном виде интерполяции:(VX, VY) - возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к кубическому полиному;(VX, VY) - возвращает вектор \/S вторых производных при приближении к опорным точкам к параболической кривой;(VX, VY) - возвращает вектор VS вторых производных при приближении к опорным точкам прямой.(vs, vx, vy, х) - возвращает значение у (х) для заданных векторов VS, VХ, VУ и заданного значения х.

Таким образом, сплайн-аппроксимация проводится в два этапа. На первом с помощью одной из функций cspline, pspline или ispline отыскивается вектор вторых производных функции у (х), заданной векторами VХ и VУ ее значений (абсцисс и ординат). Затем на втором этапе для каждой искомой точки вычисляется значение у (х) с помощью функции interp. [5]

Для решения дифференциальных уравнений в MathCAD используются следующий ряд функций:

rkadapt (y, x1, x2, acc, n, F, k, s) - возвращает матрицу, содержащую таблицу значений решения задачи Коши на интервале от х1 до х2 для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, вычисленную методом Рунге-Кутта с переменным шагом и начальными условиями в векторе у (правые части системы записаны в векторе F, n - число шагов, k - максимальное число промежуточных точек решения, и s - минимально допустимый интервал между точками);

Rkadapt (y, x1, x2, n, F) - возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта с переменным шагом для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальным условием в векторе у, правые части которых записаны в символьном векторе F на интервале от х1 до х2 при фиксированном числе шагов n;

rkfixed (y, x1, x2, n, F) - возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальным условием в векторе у, правые части которых записаны в символьном векторе F, на интервале от х1 до х2 при фиксированном числе шагов n.

В данной курсовой работе для решения дифференциального уравнения применена функция rkfixed (см. приложение) которая использует для поиска решения метод Рунге-Кутта четвертого порядка. В результате решения дифференциального уравнения первого порядка получается матрица, имеющая два столбца:

первый столбец содержит значение точек, в которых ищется решение дифференциального уравнения;

второй столбец содержит значения найденного решения в соответствующих точках.

Функция rkfixed (y,x1,x2,npoints,D) имеет следующие аргументы:

у - вектор начальных условий размерности n, где n - порядок дифференциального уравнения или число уравнений в системе дифференциальных уравнений, для уравнения первого порядка вектор начальных условий вырождается в одну точку;

х1, х2 - граничные точки интервала, на котором ищется решение дифференциальных уравнений;

npoints - число точек (не считая начальной точки), в которых ищется приближенное решение;

D (x, y) - функция, возвращающая значение в виде вектора из п элементов, содержащих первые производные неизвестных функций.

(Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 6.0 PRO. - М.: "СК Пресс”, 1997. - 336 с. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MathCAD 8 PRO в"Нолидж”, 2000. - 512 с.).

Численное дифференцирование в MathCAD.

Решение дифференциальных уравнений.

Для решения дифференциальных уравнений в MathCAD введен ряд функций. Остановимся на функциях, дающих решения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, представленных в обычной форме Коши:

rkadapt (y, x1, x2, acc, n, F, k, s) - возвращает матрицу, содержащую таблицу значений решения задачи Коши на интервале от х1 до х2 для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, вычисленную методом Рунге-Кутта с переменным шагом и начальными условиями в векторе у (правые части системы записаны в векторе F, n - число шагов, k - максимальное число промежуточных точек решения, и s - минимально допустимый интервал между точками);

Rkadapt (y, x1, x2, n, F) - возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта с переменным шагом для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальным условием в векторе у, правые части которых записаны в символьном векторе F на интервале от х1 до х2 при фиксированном числе шагов n;

rkfixed (y, x1, x2, n, F) - возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальным условием в векторе у, правые части которых записаны в символьном векторе F на интервале от х1 до х2 при фиксированном числе шагов n.

В данной курсовой работе для решения дифференциального уравнения применена функция rkfixed (см. приложение) которая использует для поиска решения метод Рунге-Кутта четвертого порядка. В результате решения дифференциального уравнения первого порядка получается матрица, имеющая два столбца:

первый столбец содержит значение точек, в которых ищется решение дифференциального уравнения;

второй столбец содержит значения найденного решения в соответствующих точках.

Функция rkfixed ( y , x 1, x 2, npoints , D ) имеет следующие аргументы:

у - вектор начальных условий размерности n, где n - порядок дифференциального уравнения или число уравнений в системе дифференциальных уравнений, для уравнения первого порядка вектор начальных условий вырождается в одну точку;

х1, х2 - граничные точки интервала, на котором ищется решение дифференциальных уравнений;

npoints - число точек (не считая начальной точки), в которых ищется приближенное решение;

D ( x , y ) - функция, возвращающая значение в виде вектора из п элементов, содержащих первые производные неизвестных функций.

Решение дифференциального уравнения второго порядка

Основные отличия решения уравнений второго порядка в MathCAD от решения уравнения первого порядка состоят в следующем:

вектор начальных условий состоит из двух элементов: значений функции и ее первой производной в начальной точке интервала;

функция D (x, y) является вектором с двумя элементами:

матрица, полученная в результате решения, содержит три столбца: первый столбец содержит значения х, второй - у (х), третий - у’ (х).

Решение дифференциального уравнения n-го порядка

Методика решения дифференциальных уравнений более высокого порядка является развитием методики, примененной для решения уравнения второго порядка. Основные различия состоят в следующем:

вектор начальных условий состоит из п элементов: значений функции и ее производных:

функция D является вектором, содержащим п элементов:

матрица, полученная в результате решения, содержит п столбцов: первый столбец содержит значения х, оставшиеся столбцы содержат значения . (Токочаков В.И. Практическое пособие по теме «Решение систем алгебраических и дифференциальных уравнений в среде Mathcad для студентов всех специальностей дневного и заочного отделений. - Гомель: ГГТУ, 2000).