Самоподобные геометрические объекты.

Самоподобной геометрической фигурой (телом) будем называть фигуру, которую можно разрезать на конечное число одинаковых фигур, подобных ей самой. Примеры — на рисунке 11: отрезок, равносторонний треугольник, квадрат, куб.

Несколько сложнее выглядит самоподобный объект на рис. 12. Но строится он довольно просто. Начиная с равностороннего треугольника со стороной l₀, будем повторять (до бесконечности) следующий процесс: каждые отрезок, соединяющий вершины ломаной, разделим на три части и среднюю часть заменим двумя отрезками длиной l/3, где l – длина исходного отрезка. Первые несколько стадий построения такой кривой показаны на рис. 12. На n-й стадии построения кривая представляет собой ломаную из N = 3N = 3·4ⁿ отрезков длиной l/3ⁿ каждый, полная её длина L = 3l_о(4/3)ⁿ. Эту ломаную называют триадической кривой Коха (по имени шведского математика, придумавшего этот объект).

Рис. 12

Каждый исходный отрезок триадической кривой Коха состоит из четырёх подобных ему отрезков с втрое меньшим расстоянием между концами.

Самоподобными являются и объекты, показанные на рисунке 13, -- так называемые треугольная кривая Серпинского – «ковёр Серпинского» (по имени польского математика В. Серпинского (1882 – 1969)). Способ их построения ясен из рисунка: первая получается при многократном соединении середин сторон соответствующих равносторонних треугольников, вторая – при бесконечном повторении процедуры выбрасывания середины из разделённого на 9 частей квадрата.

Рис. 13

Вернёмся к кривой Коха. Попробуем, например, определить её длину с помощью циркуля. Установив раствор циркуля равным λ, будем переставлять циркуль по кривой, считая число его перестановок n. Длина кривой при этом приближенно будет равна L≈λn. Величину λ будем называть масштабом измерения.

Измеряя, скажем, длину окружности с радиусом R = 1м, мы получим, что измеренная длина L = λn при λ = 1м равна 3,0м, при λ = 0,1м L = 6,2мм, при λ = 0,01м L = 6,28м, и при λ®0 длина L стремится к пределу 2πR = 6,28318… м.

Попытавшись проделать аналогичную процедуру с кривой Коха, мы убедимся в отсутствии того предела, который можно было бы считать длиной этой кривой. Выбирая масштаб λ = l₀/3ⁿ, мы получим, что измеренная длина кривой будет равна длине ломаной, соответствующей n-й стадии её построения – L = 3l₀(4/3)ⁿ.

Попытки измерить длины других самоподобных кривых привели бы к аналогичному результату – с уменьшением масштаба измерения длина кривой неограниченно растёт.

Отметим один весьма важный фактор, отличающий реальный самоподобный объект от идеального математического: у реальных объектов существует минимальный масштаб измерения λ_min.

Рассмотрим, например, реальный процесс построения кривой Коха с помощью карандаша и бумаги. Пусть мы строим кривую с начальной длиной стороны l₀ = 1м карандашом, оставляющим линию толщиной а₀ = 0,1мм = 10^{-4 м. С математической точки зрения процедура построения кривой может продолжаться бесконечно. Реальный же процесс остановится, как только длина отрезка между двумя соседними точками излома сравняется с толщиной линии. Нетрудно подсчитать, что это произойдёт на шаге с номером n = ln(l}₀/а₀)/ln3 ≈ 9. Длина нашей линии при этом будет L ≈ 40м. Так что реальная самоподобная кривая имеет конечную длину.

Теперь вернёмся к идеальным математическим объектам. Формулу длины кривой Коха можно записать в таком виде: L = Аλ^-a, где А = 3l₀^ln4/ln3, a = (ln4/ln3)-1. (Учащиеся, зная правила обращения с логарифмами, смогут сами убедиться, что эта запись эквивалентна формуле L = 3l₀(4/3)ⁿ.) Фигурирующий в формуле показатель a связан с размерностью кривой.